Determine o ponto E no Segmento AC - Eq. Reta

por gtn0123 Sáb 18 Jan 2014, 10:48

Olá pessoal, poderiam me ajudar na resolução deste exercício ?

-> Dados os pontos A(-10, 0), B(10, 0), C(0, 103 ). Ache um ponto E, sobre AC, tal que ligando B e E, cortamos o triângulo ABC em dois triângulos BCE e BAE, com AreaBCE/AreaBAE = 2.
Gabarito: E(-20/3, 10raiz3/3)
Desde já, obrigado!.

por **Elcioschin** Sáb 18 Jan 2014, 12:54

Tens certeza que a ordenada do ponto C mede 103? Acho que o correto é 10.√3

E(xE, yE)

Área de ABC = AB.yC/2 = (xB - xA).yC/2 = (10 + 10).yC/2 = 10.yC

Área de BAE = AB.yE/2 = 20.yE/2 = 10.yE

Área de BCE = Área de ABC - Área de BAE = 10.yC - 10.yE

Área de BCE ... 10.yC - 10.yE ..... yC - yE
------------ = --------------- = --------- = 2 ----> yC - yE = 2.yE ---> yE = yC/3
Área de BAE .......... 10.yE ............. yE

yE = 10.√3/3

tgBÂC = 10.√3/10 = √3 = yC/(10 - xE) ----> √3 = (10.√3/3)/(10 - xE) ----> xE = - 20/3

por gtn0123 Sáb 18 Jan 2014, 15:54

Exato, desculpe pelo erro =]
Obrigado pela resolução do exercicio, clara e simples! abraços! Very Happy

por **Medeiros** Dom 19 Jan 2014, 01:07

outra forma:

Considere AC como a base do ∆ABC.
Os triângulos ∆BAE e ∆BCE têm mesma altura. Logo, suas áreas são proporcionais às suas bases. Assim,
S_BCE = 2*S_BAC ===> CE = 2*AE

em x:
xC - xE = 2*(xE - xA) -----> 0 - xE = 2(xE + 10) -----> xE = -20/3

em y:
yC - yE = 2*(yE - yA) -----> 10√3 - yE = 2(yE - 0) -----> yE = 10√3/3