Somas S1 e S2.

Calcule as seguintes somas:

S1 = senx + sen2x + sen3x + ... + sennx

S2 = cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx




OBS: NÃO TENHO O GABARITO

Considere a soma:
S = cisx +cis2x + cis3x + ... + cisnx
S1 é a parte imagniária de S, e S2 a real.
S = cisx  + cis²x + cis³x + ... + (cisx)^n , PG:
s = [cisx(cisx^n - 1)]/(cisx - 1)
S = [cisx(cis(nx)-1)]/(cisx - 1)]
cis(a) - 1= 2icis(a/2)sen(a/2) , então:
S= cisx[2icis(nx/2)sen(nx/2)]/[2icis(x/2)sen(x/2) ]
S = [cisxcis(nx/2)sen(nx/2)] /[cis(nx/2)sen(x/2)]
S = [cis( (nx/2) + x - (x/2) )sen(nx/2) ] /[ sen(x/2)]
S = [cis [(n+1)x/2]sen(nx/2)] /[sen(x/2)]
Logo:
S1 = [sen[(n+1)x/2]sen(nx/2)] / [sen(x/2)]
S2 = [cos[(n+1)x/2]sen(nx/2)]/[sen(x/2)]

Outra solução (puramente trigonométrica) :
S1 = senx + sen2x +sen3x + ... + sen(nx)
multiplicando por 2sen(x/2):
2S1sen(x/2) = 2sen(x/2)senx + 2sen(x/2)sen2x + 2sen(x/2)sen3x + ... + 2sen(x/2)sen(nx)

usando  cos(a-b) - cos(a+b) = 2senasenb

2S1sen(x/2) = cos(x/2) - cos(3x/2) + cos(3x/2) - cos(5x/2) + cos(5x/2) - cos(7x/2) + ... + cos[x(n -(1/2))] - cos[x(n+(1/2))] 

temos uma soma telescópica:
2S1sen(x/2) = cos(x/2) - cos[x(n+(1/2)] 

usando cosa - cosb = -2sen[(a+b)/2]sen[(a-b)/2], temos:
2S1sen(x/2) = -2sen[x(n+1)/2]sen(-nx/2)
S1 = [sen[x(n+1)/2]sen(nx/2) ]/[sen(x/2)]

para achar S2 use a mesma idéia (multiplique por 2sen(x/2) )...

Luck, só uma dúvida... Porque multiplicar por 2sen(x/2)? (Solução trigonométrica)

Otavinhoo escreveu:Luck, só uma dúvida... Porque multiplicar por 2sen(x/2)? (Solução trigonométrica)

uma idéia generalizada para calcular soma de senos ou cossenos com ângulos em PA é multiplicar pelo seno da metade da razão, porque assim vc força cair em uma soma telescópica..

A sim, muito obrigado Luck! Valeu mesmo!