Indução Matemática

por Gianluigi Sex 10 Jan 2014, 12:05

Se n ∈ ℕ* demonstre que n³ + 5n é divisível por 6.

O que eu fiz:

A ideia da questão é usar indução, logo:

Para n = 1:

1³ + 5.1 = 6 (que é divisível por 6) - Ok

Para n = k (Hipótese):

k³ + 5k é divisível por 6

Para n = k+1:

(k+1)³ + 5(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k +1) + (5k + 5) = (k³ + 5k) + 3(k² + k + 2)

Sabemos da nossa hipótese que k³ + 5k é divisível por 6. Agora como provar que 3(k² + k + 2) é divisível por 6 ???

por **Elcioschin** Sex 10 Jan 2014, 12:31

3. (k² + k + 2) é divisível por 3

Basta provar que (k² + k + 2) é par

Para k par ---> par² + par + par = par

Para k ímpar ----> (ímpar² + impar) + par = (ímpar + ímpar) + 2 = par + 2 = par

Pronto