IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica

por PedroCunha Qua 08 Jan 2014, 23:12

Olá companheiros. Trago outra questão 'cabeluda' do IME:

Dada a curva $IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica Mathtex$ e a reta $IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica Mathtex$ determine o lugar geométrico dos centros das circunferências que são tangentes a reta e tangentes exteriormente à curva.

Bom, a princípio tentei fazer um desenho, sabendo que o centro da circunferência é C(5,0) e o raio é 3.

Ficou da seguinte maneira:

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica O49j

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica O49j

No "olhômetro", vemos que uma das circunferências que satisfazem tem centro C'(0,0) e raio 2.

Mas como generalizar?

Obrigado pela ajuda.

Abraços,
Pedro

¹Não possuo gabarito.

por **Euclides** Qui 09 Jan 2014, 01:00

Com algum esfôrço mental, ou croquis, você pode concluir que a curva será uma parábola com eixo de simetria coincidente com o eixo horizontal.

No meu caso, eu acabei, por "insight", concluindo que o centro da curva dada era o foco da parábola que assim teria p=5, F(0,5) e uma diretriz em x=-5.

Daí é fácil dar a equação:

$x=\frac{y^2}{4p}\;\;\to\;\;x=\frac{y^2}{20}$

verificando:

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica W64g

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica W64g

por **Medeiros** Qui 09 Jan 2014, 01:03

Pedro,
no "olhômetro" eu diria que é uma parábola do tipo x=ay².

Note que cada ponto P da circunf. dada funciona como o pólo e a reta x=-2 como a diretriz dos centros C das circunferências procuradas.

Um ponto vc já definiu: (0, 0).

Tomemos o ponto (5, 3) sobre a circunf. dada. A circunf. que tangencia esse ponto e a reta tem raio R=7 e centro Cn(5, 10).

Consideremos a parábola: x = a.y²
p/ x=5, y=10 -----> a=1/20 ----------> x = y²/20

Vamos testar para y=5 -----> x = 25/20 = 5/4.
neste caso, em direção à reta, o raio vale: R=2 + 5/4 -----> R=13/4 = 3,25.
deveremos ter (R+r)²=(5 - 5/4)² + 5² -----> R+r=25/4
como r=3 -----> R=13/4 = 3,25 ............. confirma.

Note que isto é "olhômetro". Falta provar algebricamente.

Abs.

por **Medeiros** Qui 09 Jan 2014, 01:09

O Euclides foi mais rápido.

fica a questão de "qual é o domínio dessa parábola" ou, de outro modo, "existe circunferência que tangencie no ponto (8, 0) da curva dada?".

por **Euclides** Qui 09 Jan 2014, 01:15

Medeiros escreveu:fica a questão de "qual é o domínio dessa parábola" ou, de outro modo, "existe circunferência que tangencie no ponto (8, 0) da curva dada?".

Sem dúvida nenhuma: não. Uma circunferência que tangencie a primeira em (8,0) será tangente à reta x=8 e nunca à reta em x=-2.

O domínio é $\left \{ x\in \mathbb{R}^+ \;| x\geq0\right \}$ .

por **Medeiros** Qui 09 Jan 2014, 01:20

Sim, Euclides.
Tal circunferência não existe. Isso foi só para provocar porque
x = f(y).
então imaginei que o domínio estaria no eixo das ordenadas (y) e a imagem no eixo das abscissas (x).

por megatron0000 Qui 09 Jan 2014, 01:23

Fiz o mesmo desenho que você, mas inclui uma das circunferências (delimitada por A, B e C) que atendem as exigências citadas, para ficar fácil de generalizar... ¬¬'

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No desenho, A e D são centros das circunferências, B e C são pontos de tangência. Observe que o segmento AC (raio) tem que ser horizontal, porque faz 90° com a reta azul (x+2=0).

Então, vamos pressupor que todas as circunferências desconhecidas (aquelas cujos centros queremos determinar) têm um ponto como centro , $\left( {{x_c},{y_c}} \right)$ , e um raio $r$ .

Bom, a primeira coisa que podemos garantir é que a distância entre esse centro e o ponto C vai ser sempre igual ao raio da circunferência (basta olhar o desenho). Em termos de equação, ficaria assim:

${x_c} + 2 = r$

A segunda coisa (e já basta) é que a distância entre esse centro e o ponto D vai ser igual à soma entre o raio da circunferência desconhecida e o raio da circunferência determinada pela questão (esse último vale 3).
Equacionando essa observação, ficaria assim:
$\sqrt {{{\left( {{x_c} - 5} \right)}^2} + {{\left( {{y_c} - 0} \right)}^2}} = \left( {r + 3} \right)$

${\left( {{x_c} - 5} \right)^2} + {\left( {{y_c} - 0} \right)^2} = {\left( {r + 3} \right)^2}$

${x_c}^2 - 10{x_c} + 25 + {y_c}^2 = {r^2} + 6r + 9........................{\rm{Equa\c{c}\~a o\ }}\alpha$

Agora, lendo o enunciado da questão, voltamos a lembrar que é pedido o lugar geométrico dos CENTROS das circunferências desconhecidas, ninguém quer saber do raio delas.Então, é suficiente usar as 2 equações finais a que chegamos com as 2 observações para "sumir" com o $r$ da história, e conseguir uma equação que relacione ${{x_c}}$ com ${y_c}$ .
Relacionar os dois é determinar o lugar geométrico deles, afinal.
Façamos isso:

${x_c} + 2 = r \Rightarrow {\left( {{x_c} + 2} \right)^2} = {r^2} \Rightarrow {x_c}^2 + 4{x_c} + 4 = {r^2}$

$e$

${x_c} + 2 = r \Rightarrow 6\left( {{x_c} + 2} \right) = 6r \Rightarrow 6{x_c} + 12 = 6r$

Conseguimos $6r$ e ${r^2}$ completamente em função de ${{x_c}}$ . Para finalizar, basta substituir esses 2 resultados na equação que eu chamei de $\alpha$ :

${x_c}^2 - 10{x_c} + 25 + {y_c}^2 = {r^2} + 6r + 9........................{\rm{Equa\c{c}\~a o\ }}\alpha$

${x_c}^2 - 10{x_c} + 25 + {y_c}^2 = \left( {{x_c}^2 + 4{x_c} + 4} \right) + \left( {6{x_c} + 12} \right) + 9$

${y_c}^2 - 20{x_c} = 0$

Pronto, está aí o lugar geométrico dos centros das circunferências que são tangentes à reta dada e à circunferência dada. Não custa fazer um desenho desse resultado para vermos onde estão esses centros (parábola):

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica 2l75

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica 2l75

por **Euclides** Qui 09 Jan 2014, 01:29

Mais um adendo: o uso de duas circunferências particularmente escolhidas permite identificar facilmente foco e diretriz:

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica 0qiu

IME CG - Lugar geométrico/Geometria analítica 0qiu

com muito pouca conta.

por **Medeiros** Qui 09 Jan 2014, 01:31

Parabéns, Megatron! Foi uma participação de bom nível.

Só uma observação:
y² - 20x = 0 -------> x = y²/20 .......... isto me parece uma parábola, não um hipérbole.