Equações polinomiais

por hwcv Sáb 04 Jan 2014, 13:07

(Unicamp 1996) Encontre os valores inteiros de m para os quais a equação x³-mx²+mx-m²=1 tem pelo menos uma raiz inteira. Para cada um desses valores de m, ache as 3 raízes das equações (do terceiro grau) correspondentes.

por PedroCunha Sáb 04 Jan 2014, 23:43

Alguém?

por Luck Dom 05 Jan 2014, 00:49

Seja x1 uma raíz inteira.
x1³ -mx1² +mx1 -m² = 1
x1²(x1-m) + m(x1-m) = 1
(x1-m)(x1²+m)= 1,como x1 e m devem ser inteiros, x1 - m =1 (i) e x1²+ m=1 (ii)
(i) em (ii):
(m+1)²+ m =1
m² + 2m + 1 + m = 1
m² + 3m = 0
m(m+3) = 0 ∴ m = 0 ou m =-3
para m = 0:
x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0
raízes: 1, (-1+√3)/2 , (-1-√3)/2

para m =-3
x³+3x²-3x-10 = 0
x1 = 1+ m, então -2 é raíz
(x+2)(x²+x-5) = 0
raízes: -2,(-1-√21)/2 , (-1+√21)/2

boa questão..

por PedroCunha Dom 05 Jan 2014, 01:31

Luck, porque o fato de x1 e m serem inteiros implica em i e ii?

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Dom 05 Jan 2014, 08:19

Pedro

Como m , x1 são inteiros ----> (x1 - m) e (x1² + m) também são inteiros

Os únicos dois inteiros que multiplicados resultam 1 é 1.1 ---> x1 - m = x1² + m = 1

por PedroCunha Dom 05 Jan 2014, 08:34

Entendi. Obrigado, Élcio.

por Luck Dom 05 Jan 2014, 12:37

Complementando, ainda esqueci de verificar os negativos que também poderiam ser soluções, mas não convém:
x1 - m = -1 ∴ x1 = m-1
x1² + m = -1
(m-1)² + m = -1
m² -2m + 1 + m = -1
m² - m + 2 = 0 , que não possui raízes reais.

por viniciuspoof Ter 05 Dez 2023, 09:40

Luck escreveu:Seja x1 uma raíz inteira.
x1³ -mx1² +mx1 -m² = 1
x1²(x1-m) + m(x1-m) = 1
(x1-m)(x1²+m)= 1,como x1 e m devem ser inteiros, x1 - m =1 (i) e x1²+ m=1 (ii)
(i) em (ii):
(m+1)²+ m =1
m² + 2m + 1 + m = 1
m² + 3m = 0
m(m+3) = 0 ∴ m = 0 ou m =-3
para m = 0:
x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0
raízes: 1, (-1+√3)/2 , (-1-√3)/2

para m =-3
x³+3x²-3x-10 = 0
x1 = 1+ m, então -2 é raíz
(x+2)(x²+x-5) = 0
raízes: -2,(-1-√21)/2 , (-1+√21)/2

boa questão..

Luck, aqui nesse trecho "x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0" tem algo estranho, pois

[latex]\Delta=1^{2}-4.1.1\\ \Delta=1-4\\ \Delta=-3[/latex] o que implicaria em não tem raíz inteira, é isso mesmo?

por **petras** Ter 05 Dez 2023, 10:41

viniciuspoof escreveu:
Luck escreveu:Seja x1 uma raíz inteira.
x1³ -mx1² +mx1 -m² = 1
x1²(x1-m) + m(x1-m) = 1
(x1-m)(x1²+m)= 1,como x1 e m devem ser inteiros, x1 - m =1 (i) e x1²+ m=1 (ii)
(i) em (ii):
(m+1)²+ m =1
m² + 2m + 1 + m = 1
m² + 3m = 0
m(m+3) = 0 ∴ m = 0 ou m =-3
para m = 0:
x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0
raízes: 1, (-1+√3)/2 , (-1-√3)/2

para m =-3
x³+3x²-3x-10 = 0
x1 = 1+ m, então -2 é raíz
(x+2)(x²+x-5) = 0
raízes: -2,(-1-√21)/2 , (-1+√21)/2

boa questão..

Luck, aqui nesse trecho "x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0" tem algo estranho, pois

[latex]\Delta=1^{2}-4.1.1\\ \Delta=1-4\\ \Delta=-3[/latex] o que implicaria em não tem raíz inteira, é isso mesmo?

São duas raízes complexas e uma inteira...faltou o "i"
[latex]x_1:1\\ x_2: \frac{-1+i\sqrt3} {2 }\\ x_3:\frac{-1-i\sqrt3}{2}[/latex]

por viniciuspoof Ter 05 Dez 2023, 15:45

petras escreveu:
viniciuspoof escreveu:
Luck escreveu:Seja x1 uma raíz inteira.
x1³ -mx1² +mx1 -m² = 1
x1²(x1-m) + m(x1-m) = 1
(x1-m)(x1²+m)= 1,como x1 e m devem ser inteiros, x1 - m =1 (i) e x1²+ m=1 (ii)
(i) em (ii):
(m+1)²+ m =1
m² + 2m + 1 + m = 1
m² + 3m = 0
m(m+3) = 0 ∴ m = 0 ou m =-3
para m = 0:
x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0
raízes: 1, (-1+√3)/2 , (-1-√3)/2

para m =-3
x³+3x²-3x-10 = 0
x1 = 1+ m, então -2 é raíz
(x+2)(x²+x-5) = 0
raízes: -2,(-1-√21)/2 , (-1+√21)/2

boa questão..

Luck, aqui nesse trecho "x³ = 1 ∴ (x-1)(x² + x + 1 ) = 0" tem algo estranho, pois

[latex]\Delta=1^{2}-4.1.1\\ \Delta=1-4\\ \Delta=-3[/latex] o que implicaria em não tem raíz inteira, é isso mesmo?
São duas raízes complexas e uma inteira...faltou o "i"
[latex]x_1:1\\ x_2: \frac{-1+i\sqrt3} {2 }\\ x_3:\frac{-1-i\sqrt3}{2}[/latex]