Equações polinomiais

Resolver a equação x³ - x² - 8x + 12 = 0, sabendo que admite uma raiz com multiplicidade 2.

Resolução 1 (ideal)

Chamemos de a, b e c as raízes da equação dada e, de acordo com enunciado, façamos a = b. Desse modo, temos as relações de Girard:

a + b + c = 1 (1)
ab + ac + bc = -8 (2)
abc = -12 (3)

Substituindo a condição do problema em (1):

2a + c = 1 ⇒ c = 1 - 2a (4)

Substituindo a condição do problema em (2):

a² + 2ac = -8 (5)

Das expressões obtidas em (4) e (5):

a² + 2a(1 - 2a) = -8, isto é, 3a² - 2a - 8 = 0

a = 2 ou a = -4/3

Se a = 2:

De (4): c = 1 - 2a = -3
De (3): c = -12/a² = -3

Se a = -4/3

De (4): c = 1 - 2a = 11/3
De (3): c = -12/a² = -27/4

Desse modo, podemos escrever:

S = {2, -3}

Resolução 2 (corrigida)

Chamemos de a, b e c as raízes da equação dada e, de acordo com
enunciado, façamos a = b. Desse modo, temos as relações de Girard:

a + b + c = 1 (1)
ab + ac + bc = -8 (2)
abc = -12 (3)

Substituindo a condição do problema em (1):

2a + c = 1 ⇒ c = 1 - 2a (4)

Substituindo a condição do problema em (3):

a²c = -12 (5)

Das expressões obtidas em (4) e em (5) temos:

a²(1 - 2a) = -12, isto é, 2a³ - a² -12 = 0

Fazendo a² = x, vem:

2x² - x - 12 = 0

∆ = 97

x = (1 ± √97)/4

Os resultados obtidos a partir da sentença x = (1 ± √97)/4 são distintos dos obtidos na resolução ideal. Como explicar essa diferença?

Erro identificado. Observe o trecho destacado em vermelho.

"
Das expressões obtidas em (4) e em (5) temos:

a²(1 - 2a) = -12, isto é, 2a³ - a² -12 = 0

"
Não mudastes o sinal!

Não há diferença entre as soluções, o erro foi em conta, a equação final correta seria :

2a³ - a² + 12 =0

Considerando-se a²(1 - 2a) = -12, temos:

a² - 2a³ = -12 ⇒ 2a³ - a² - 12 = 0

Não há erro de sinal!

Ainda que a equação, de fato, fosse

2a³ - a² + 12 = 0

teríamos, ao substituir a² = y:

2y² - y +12 = 0

∆ = 1 - 4.2.12 = -95

Com ∆ < 0, teríamos duas raízes imaginárias.

Seja r = a + bi e r' = c + di e, portanto:

a = √(a + bi) ou a = √(c + di)

Observe que os resultados obtidos são distintos do primeiro método.

Erro identificado. Veja o enunciado proposto.

Jesselp a resposta é (2,2,-3) ??
E u ja tentei fazer uma questao igual a essa por Girard mas pelo o que vc ja deve ter percebido da muita conta!
mas tem um método em Cálculo, só precisa saber derivar um polinômio o que é fácil, que essa questao fica melhor de se resolver:
O método é
Quando vc tem um polinômio de raiz de multiplicidade n , vc deriva esse polinômio (n- 1 ) vezes
por exemplo se vc tem um polinomio que tem uma raiz de multiplicidade 3, vc deriva ele 2 vezes
se tiver multiplicidade 2
vc deriva uma vez só!
Olha como fica:
x³ - x² - 8x + 12 = 0
derivando:
3x^2 - 2x - 8=0

o 12 sumiu pq derivada de uma constante é 0
e uma das raízes que vc encontrará dessa equaçao vai ser a raiz de multiplicidade n
vc encontrará raízes =2,4/3

mas testando vc vai ver que 4/3 nao é raiz
logo 2 é a raiz de multiplicidade n
entao fica (2,2,y) falta uma raiz


Use agora Briot Ruffini ja que vc tem uma raiz
abaixando o grau vc encontrará a equação x^2 + x -6=0
que encontrará a outra raiz que é -3!

Vc poderia abaixar o grau duas vezes do polinômio ja que vc tem duas raízes
vc ia abaixar o grau de x^2 + x - 6 e ia encontrar x + 3, e raiz -3
^^ Espero ter ajudado!