Cone circunscrito

por **Eduardo Sicale** Ter 20 Abr 2010, 14:52

O cone, circunscrito a um cilindro circular reto de altura 6 cm e de raio da base 2 cm, de volume mínimo é tal que seu volume vale:

Resposta: 54pi cm³

Obrigado !!!

por **Euclides** Ter 20 Abr 2010, 20:23

Eduardo,

Não sei se fiz a abordagem mais feliz... esta questão vai ser trabalhosa do ponto de vista do cálculo, por isso vou apenas sugerir-lhe um desenvolvimento para ela.

Uma montagem do cone num sistema cartesiano

1) Área da base do cone: $A_b=\pi y^2$

2) Relações nos triângulos

$\frac{y}{2}=\frac{x+6}{x}\hspace{20}\to \hspace{20}y=\frac{2x+12}{x}$

3) O volume do cone

$V=\frac{\pi}{3} y^2(x+6)\hspace{20}\to \hspace{20}V=\frac{\pi}{3} \left (\frac{2x+12}{x} \right )^2.\left ( x+6 \right )$

A expressão acima fornece o volume do cone. Resta agora encontrar a derivada primeira e igualando-a a zero procurar o mínimo x que corresponderá à altura do cone.

Trabalhe com cuidado e paciência e encontrará x=12 que aplicado na expressão do volume obtém $V=54\pi$

$\\V'=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{4x^3-432x-1728}{x^2}\\\\V'=0\to 4x^3-432x-1728=0$

PS: (para resolver uma equação do terceiro grau clique no link abaixo)

https://pir2.forumeiros.com/Eq-do-Terceiro-Grau-h18.htm

Cone circunscrito

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