polinômios

Considere o polinômio , em que ,  e .

Sabendo que uma raiz de p(x) é o número complexo 1 + i e que duas de suas outras raízes são números inteiros positivos, determine a, b e c.

Gabarito:

Raiz (1 + i) implica a raiz conjugada (1 - i)
Outras duas raízes: r, s

Mudando base do logaritmo para base 2 --->

log[1/2](a) = log[2](a)/log[2](1/2) = log[2](a)/(-1) = - log[2](a)
2/log[b](2) = 2/{log[2](2)/log[2](b)} = 2/(1/log[2](b) = 2.log[2].(b) = log[2](b²)

log[1/2](a) - 2/log[b](2) = - log[2](a) - log[2](b²) = - log[2](a.b²)

Relações de Girard:

1) (1 + i) + (1 - i) + r + s = log[2](a.b²) ---> r + s + 2 = log[2](a.b²) ----> r + s + log2](4) = log[2](a.b²) ---->

r + s = log[2](a.b²) - log[2](4) ----> r + s = log[2](a.b²/4) ---> I

2) r.s.(1 + i).(1 - i) = 6/1 ----> r.s.(1 - i²) = 6 ----> r.s = 3 ----> II

Como r, s são números inteiros positivos, de II conclui-se que r = 1 e s = 3 (ou vice versa)

I ----> 1 + 3 = log[2](a.b²/4) ----> 4 = log[2](a.b²/4) ----> a.b²/4 = 2^4 ----> a.b² = 64 ----> III

3) r.(1 + i) + r.(1 - i) + s.(1 + i) + s.(1 - i) + (1 + i).(1 - i) + r.s = a - c ---> 2.(r + s) + 2 + r.s= c - a ---->

2.(1 + 3) + 2 + 1.3 = a - c ----> a - c  = 13 ----> IV

4) Última relação de Girard ----> r.s.(1 + i) + r.s.(1 - i) + r.(1 + i).(1 - i) + s.(1 + i).(1 - i) = - (b - a)/1 ---->

2.r.s + 2.r + 2.s = a - b ---> 2.1.3 + 2.1 + 2.3 = a - b ----> a - b = 14 ----> b = a - 14 ----> V

V em III ----> a.b² = 64 ----> a.(a - 14)² = 64 ----> a = 16 ----> b = 2

IV ----> a - c = 13 ----> 16 - c = 13 ----> c = 3

Vlw Elcio