Desafio de elipses

São dadas as equações de duas elipses fixas.E1 = (x^2) /2 + y^2 = 1 e E2 = {(x - xc)^2 }/ 2 + y^2 = 1.Sabe-se que a expressão do coeficiente angular da reta tangente à uma elipse de equação {(x-xc)^2} /a^2 + (y-yb)^2 / b^2 = 1 para qualquer ponto dessa curva é dada por m = - (x-xc)b^2 / (y-yc)a^2 .Determine o valor de xc da equação de E2 para que ambas as elipses dadas sejam ortogonais.Dado: uma elipse é ortogonal a outra elipse se e somente se as retas tangentes à essas elipses (no ponto de intersecção entre elas) forem perpendiculares.

Olá Bruno, acho que faltou alguma coisa na digitação. As elipses



são concêntricas e não se interceptam.

Euclides/Bruno

A 1ª elipse tem centro na origem, semi-eixos maior igual a V2 e menor igual a 1.
Isto implica nos "vértices" A'(-V2, 0), A(+V2, 0), B(0,1), B'(0, -1)

A 2ª elipse tem os mesmos semi-eixos (mesmo tamanho) e centro em (xC, 0).
Consideremos inicialmente que xC = 0 ----> As 2 elipses são coincidentes.

Vamos agora afastar a 2ª elipse para o lado do semi-eixo X positivo. Quando xC = 2*V2 as duas elipses serão tangentes externamente no ponto A(V2, 0).

Para valores de xC intermediários (0 < xC < 2*V2) as duas elipses se cortam.

Neste intervalo pode haver um determinado valor de xC, tal que as dus elipses se cortem ortogonalmente.

Aí, penso eu, deve ser possível calcular o valor de xC com base na informação adicional sobre o valor do coeficiente angular de uma reta tangente à elipse:

Sejam m o coeficiente angular da 1ª elipse e m' o da 2ª elipse ----> m*m' = - 1

Vou deixar para o Bruno tentar!