Circunferências tangentes

Seja a circunferencia  (W) de equação x² + y² - 2x - 6y + 5 = 0 .Determine as equações das circunferências de raui 3 Raiz de 5 que são tangentes a (W) no ponto T(3,4)
Gabarito: (x+3)² + (y-1)² = 45 e (x-9)² + (y-7)² = 45

Bom, eu fiz distancia de centro a centro, chamando de (a,b) o centro da circ. que não conheço e igualando a 4 raiz de 5 ( soma dos raios), e depois fiz distancia do centro da que eu não conheço denovo ( a,b ) ao ponto T ,dai formei um sistema com equações com duas incognitas e a² + b² , que multiplicando por - 1  anulei os termos ao quadrado ... restando uma equação : 4a + 2b =40 ... Mas eu não tenho outra pra fazer outro sistema e achar a e b =/// Se puderem ajudar ...

Um bom desenho, em escala, ajuda;

1) x² + y² - 2x - 6y + 5 = 0 ----> (x - 1)² + (y - 3)² = (√5)² ----> Centro C(1, 3) e raio R = √5

2) Desenhe a circunferência W e marque nela o ponto T(3, 4) ----> CT = √5

3) Inclinação da reta CT ---->m = (yT - yC)/(xT - xC) = (4 - 3)/(3 - 1) = 1/2.

4) Prolongue a reta CT, para cima, de um comprimento R' = 3.√5, obtendo o centro C' da 1ª circunferência. Trace a circunferência.

5) Por C trace uma reta r para a direita. Por T uma perpendicular a esta reta no ponto P (CP = 2, TP = 1) e por C'
trace outra perpendicular à reta r, no ponto Q

CP/CT = CQ/CC' ----> 2/√5 = CQ/4.√5 ----> CQ = 8 ---> xQ = xC + 8 ----> xQ = 9

TP/CT = C'Q/CC' ----> 1/√5 = CQ/4.√5 ----> CQ = 4 ---> yQ = yC + 4 ----> yQ = 7

1ª circunferência (x - 9)² + (y - 7)² = 45

Faça de modo similar para a 2ª circunferência, prolongando TC para baixo, de 3√5 até C" tal que C"T = 3,√5 e calcule o centro dela

Cara, eu entendi o que disse, mas não entendi o porque do prolongar CT pra cima e etc... Tem como enviar um desenho?! Ia ajudar bastante! Vlw

Deixo o desenho para você fazer, seguindo minhas instruções

To tentando, mas não entendi o porquê de seguir CT pra cima e não na mesma direção do centro de W... Mas bls então , vlw pela ajuda, vou continuar aqui pra ver se consigo desenhar!

Élcio, para este tipo de exercício não existe uma maneira algébrica de resolver?

Gabriel/Pedro

Quando se diz "prolongue CT" significa prolongar a reta que contém o segmento de reta CT. Este prolongamento pode ser em dois sentidos:

1) de C para T, isto é, para a direita e para cima. Neste caso descobre-se o centro C' da 1ª circunferência (tangente externamente a W)

2) ou sentido de T para C, isto é para a esquerda e para baixo. Neste caso descobre-se o centro C" da 2ª circunferência (com W tangente internamente a ela)

Pedro

Certamente existe solução algébrica; mas, neste caso era simples demais: bastava olhar os desenhos

Concordo que com os desenhos seja mais fácil. Mas gostaria de saber qual era o caminho algébrico, de forma a ter uma forma de resolver para outros exercícios do tipo.

Solução algébtica

Equação da reta CT ----> y = x/2 + 5/2 ---> Esta reta contém os centros C' e C" das duas circunferências

Centro da 1ª circunferência C'(xC'. yC') ----> C'(xC', xC'/2 + 5/2)

Distância C'T ----> C'T² = (xC' - xT)² + (yC' - yT)² ----> (3.√5)² = (xC' - 3)² + (xC'/2 + 5/2 - 4)² ---->


45 = (xC' - 3)² + (xC' - 3/2)² ---> Calcule xC' e depois yC' ----> Pronto


Idem para a 2ª circunferência calculando a distância C"T 

No caso o que mudaria no cálculo de uma para a outra que em uma soma-se as distâncias e na outra subtrai-se elas?