Octógono

por georges123 Ter 22 Out 2013, 14:18

Boa tarde.

Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isósceles nos vértices de um quadrado. Se o lado do quadrado mede 1, quanto medem os catetos dos triângulos retirados ?

Agradeço a quem tentar me ajudar. (caso poder mostrar o desenho ficarei grato).

por **ivomilton** Ter 22 Out 2013, 15:22

georges123 escreveu:Boa tarde.

Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isósceles nos vértices de um quadrado. Se o lado do quadrado mede 1, quanto medem os catetos dos triângulos retirados ?

Agradeço a quem tentar me ajudar. (caso poder mostrar o desenho ficarei grato).

Boa tarde, George.

L = lado do octógono regular
L/√2 = cateto em questão
1 = medida do lado do quadrado

1 = L/√2 + L + L/√2
1 = L/√2 + L√2/√2 + L/√2
1 = L(2 + √2)/√2

Racionalizando o denominador, vem:
1 = L(2 + √2)√2/2
1 = L(2√2 + 2)/2
1 = L(√2 + 1)

L = 1/(√2 + 1)

Racionalizando também esse denominador, fica:
L = (√2 - 1)/(√2+1)(√2-1)
L = (√2 - 1)/(2-1)
L = √2 - 1

Logo, a medida do cateto em questão é igual a:
L/√2 = (√2 - 1)/√2

Que, após racionalização, fica:
L/√2 = (√2 - 1)√2/2
L/√2 = (2 - √2)/2

Um abraço.

Um abraço.