Hong Kong (1997)

por Dela Corte Qua 16 Out 2013, 17:33

Se a, b, c são raízes da equação:

$Hong Kong (1997) Gif$

Calcule o valor da expressão:

$Hong Kong (1997) Gif.latex?%5Cfrac%7Ba%5E5-b%5E5%7D%7Ba-b%7D+%5Cfrac%7Bb%5E5-c%5E5%7D%7Bb-c%7D+%5Cfrac%7Bc%5E5-a%5E5%7D%7Bc-a%7D$

por Convidado Qua 16 Out 2013, 17:45

Qual é a fonte da questão? Por exemplo, foi retirada de algum livro?

por Dela Corte Qui 17 Out 2013, 11:51

Raimundo Junior escreveu:Qual é a fonte da questão? Por exemplo, foi retirada de algum livro?

É a primeira questão disponível na demo do seguinte livro: Problemas Selecionados de Matemática, Marcilio Miranda, Volume 1.

EDIT: Possuo uma resolução feita por mim somente.

por Luck Qui 17 Out 2013, 15:55

(a^5-b^5)/(a-b) = a^4 + a³b + a²b² + ab³ + b^4
(b^5 -c^5)/(b-c) = b^4 + b³c + b²c² + bc³ + c^4
(c^5 - a^5)/(c-a) = c^4 + c³a + c²a² + ca³ + a^4

S = 2(a^4+b^4+c^4) + ab(a²+b²) + bc(b²+c²) + ac(a²+c²) + a²b² + b²c² + a²c²
ab(a²+b²) = ab(a²+b²+c²) - abc²
bc(b²+c²) = bc(a²+b²+c²) - a²bc
ac(a²+c²) = ac(a²+b²+c²) - ab²c

S = 2(a^4 + b^4 + c^4) + (a²+b²+c²)(ab + bc + ac) -abc(a+b+c) + a²b² + b²c² + a²c²
a²b² + b²c² + a²c² = (ab + bc + ac)² - 2abc(a+b+c)

S = 2(a^4 + b^4 + c^4) + (a²+b²+c²)(ab +bc + ac) + (ab+bc + ac)² - 3abc(a+b+c)

Usando somas de Newton, temos:
Sn = 2S[n-1] + 3S[n-2] + 4S[n-3]
So = 3 ; S1 = 2 ; S2 = 2² - 2.(-3) = 10
S3 = 2S[2] + 3S[1] + 4S[0]
S3 = 2.10 + 3.2 + 4.3
S3 = 38
S4 = 2.38 + 3.10 + 4.2
S4 = 114
Logo :
S = 2.114 + 10.(-3) + (-3)² - 3.4.2
S = 183
favor, verifique as contas..

por Dela Corte Qui 17 Out 2013, 19:41

Exatamente o resultado que encontrei.
Parabéns Luck.

por spawnftw Sex 18 Out 2013, 00:31

Senhores, o que são somas de newton?

desculpe-me não ter nada a acrescentar

por Luck Sex 18 Out 2013, 00:58

spawnftw escreveu:Senhores, o que são somas de newton?

desculpe-me não ter nada a acrescentar

é uma ferramenta muito útil para resolver alguns problemas de polinômios/fatoração mais complicados.. pesquise no google somas de newton ou polinômios simétricos.