Parábola
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NANOBH
juares abreu
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Parábola
Dada a parábola y² -4x- 2y= 3
1- Determine seu vértice e foco;
2- Determine a equação da reta t tangente à parábola dada no ponto (0, 3);
3- Determine a equação da reta h horizontal e passando pelo ponto (0 , 3);
4- Determine a equação da reta r passando pelo ponto (0 , 3) e pelo foco da parábola;e
5- Verifique que a reta t é uma bissetriz de r e h.
Como devo prosseguir nesta questão?
1- Determine seu vértice e foco;
2- Determine a equação da reta t tangente à parábola dada no ponto (0, 3);
3- Determine a equação da reta h horizontal e passando pelo ponto (0 , 3);
4- Determine a equação da reta r passando pelo ponto (0 , 3) e pelo foco da parábola;e
5- Verifique que a reta t é uma bissetriz de r e h.
Como devo prosseguir nesta questão?
juares abreu- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 24/04/2013
Idade : 41
Localização : Campos dos Goytacazes
Re: Parábola
1)
y² -4x- 2y= 3 [completar o quadrado]
(y^2 - 2y + 1) = 4x + 3 + 1 [fatoração] [fator comum em evidencia]
(y - 1)^2 = 4(x+1)
Para o vértice temos (-1, 1)
Lembrando que a equação é do tipo: " y^2 = 4Px " 4p=4 então P= 4/4 , P=1
Para o foco temos: (0, 1)
y² -4x- 2y= 3 [completar o quadrado]
(y^2 - 2y + 1) = 4x + 3 + 1 [fatoração] [fator comum em evidencia]
(y - 1)^2 = 4(x+1)
Para o vértice temos (-1, 1)
Lembrando que a equação é do tipo: " y^2 = 4Px " 4p=4 então P= 4/4 , P=1
Para o foco temos: (0, 1)
NANOBH- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 02/04/2012
Re: Parábola
Até este resultado eu consegui chegar,porém do item 2 ao 5 estou com mais dúvidas de como proceder.Poderiam me orientar em como fazer o resto da questão?
juares abreu- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 24/04/2013
Idade : 41
Localização : Campos dos Goytacazes
Re: Parábola
Olá,
Como já calculado:
V( - 1, 1 ) e F( 0, 1 )
- tangente à parábola no ponto ( 0, 3 ) da mesma:
tangente -> reta definida como: y = m*x + b
então o ponto ( 0, 3 ) deve satisfazer a equação da parábola -> 3 = m*0 + b -> b = 3
logo:
equação da tangente -> y = m*x + 3
- para que y = m*x + 3 seja tangente então o discriminante da interseção com a parábola deve ser zero.
( y - 1 )² = 4*( x + 1 )
( m*x + 3 - 1 )² = 4x + 4
( m*x + 2 )² = 4x + 4
m²*x² + 4m*x + 4 = 4x + 4
m²*x² + ( 4m - 1 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0
m = 1
assim: reta tangente -> y = x + 3
- reta (h) horizontal que passa pelo ponto ( 0, 3 ) -> y = 3
- reta (r) que passa pelo ponto ( 0, 3 ) e pelo foco -> x = 0
temos então que (r) e (h)formam um ângulo reto e que a reta tangente possui coeficiente angular igual a 1 ( tangente de 45° ) então (t) é bissetriz de (r) e (h).
Como já calculado:
V( - 1, 1 ) e F( 0, 1 )
- tangente à parábola no ponto ( 0, 3 ) da mesma:
tangente -> reta definida como: y = m*x + b
então o ponto ( 0, 3 ) deve satisfazer a equação da parábola -> 3 = m*0 + b -> b = 3
logo:
equação da tangente -> y = m*x + 3
- para que y = m*x + 3 seja tangente então o discriminante da interseção com a parábola deve ser zero.
( y - 1 )² = 4*( x + 1 )
( m*x + 3 - 1 )² = 4x + 4
( m*x + 2 )² = 4x + 4
m²*x² + 4m*x + 4 = 4x + 4
m²*x² + ( 4m - 1 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0
m = 1
assim: reta tangente -> y = x + 3
- reta (h) horizontal que passa pelo ponto ( 0, 3 ) -> y = 3
- reta (r) que passa pelo ponto ( 0, 3 ) e pelo foco -> x = 0
temos então que (r) e (h)formam um ângulo reto e que a reta tangente possui coeficiente angular igual a 1 ( tangente de 45° ) então (t) é bissetriz de (r) e (h).
Última edição por Jose Carlos em Ter 15 Out 2013, 11:21, editado 1 vez(es)
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...se acupuntura adiantasse, porco-espinho viveria para sempre....
Jose Carlos- Grande Mestre
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Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 74
Localização : Niterói - RJ
Re: Parábola
Muitíssimo obrigado pela ajuda!
juares abreu- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 24/04/2013
Idade : 41
Localização : Campos dos Goytacazes
Re: Parábola
Gostaria de tirar uma dúvida: de onde saiu o ponto (0 , 2) da reta horizontal h?
juares abreu- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 24/04/2013
Idade : 41
Localização : Campos dos Goytacazes
Re: Parábola
Acho que ele digitou errado.juares abreu escreveu:Gostaria de tirar uma dúvida: de onde saiu o ponto (0 , 2) da reta horizontal h?
Gustavo.math- Iniciante
- Mensagens : 4
Data de inscrição : 13/10/2013
Idade : 38
Localização : Nova Friburgo, RJ, Br.
Re: Parábola
Uma dúvida:
Onde está m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0
Não seria
∆ = (4m -4)² - 4.1, pois ∆ = b² - 4ac
Onde está m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0
Não seria
∆ = (4m -4)² - 4.1, pois ∆ = b² - 4ac
CASSIANE- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 165
Data de inscrição : 03/05/2011
Idade : 32
Localização : Brasil
Re: Parábola
Olá juares e CASSIANE,
Como observado pelo Gustavo, houve um erro de digitação.
m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0
m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² - 4*m²*0 = 0
∆ = ( 4m - 4 ) - 0 = 0
∆ = ( m - 4 )²
Como observado pelo Gustavo, houve um erro de digitação.
m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0
m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² - 4*m²*0 = 0
∆ = ( 4m - 4 ) - 0 = 0
∆ = ( m - 4 )²
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Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 74
Localização : Niterói - RJ
Re: Parábola
MUITO BOM
sergio baltar- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 163
Data de inscrição : 14/08/2012
Idade : 48
Localização : rio de janeiro
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