Parábola

Uma figura representa uma parabóla com vértice (1, 2), passando no ponto (4, 5).

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A equação dessa parábola é: 

a) x + 6y - y² = 9 
b) 2x + 3y - x² = 7 
c) 10x- 3y- y² = 0 
d) 10x - 3y- y² = 13 
e) 3x+ 4y- y²= 7


Como faço para achar o foco?

Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x ---> x = ay² + by + c

Passa por A(2, 0) ----> 2 = a.0² + b.0 + c ----> c = 2

Vértice V(1, 2) ---> yV = 2 ---> - b/2a = 2 ----> b = - 4a ---> I

Passa por B(4, 5) ---> 4 = a.5² + b.5 + c ---> 4 = 25a + (-4a).5 + 2 ---> a = 2/5 ---> b = - 8/5

x = (2/5).y² - (8/5).y + 2 ---> *5 ---> 5x = 2y² - 8y + 10 ---> 5x - 2y² + 8y = 10

Nenhuma alternativa atende. Tens certeza das alternativas? Por favor confira minhas contas.

E o enunciado não pede o foco. Para que então você quer calcular?

forma canônica: y = a(x - x_V)² + y_V

para o caso desta parábola, onde temos x=f(y), a forma canônica fica:
x = a(y - y_V)² + x_V
V(1, 2)
x = a(y - 2)² + 1
o ponto (4, 5) pertence à parábola; substituindo,
4 = a(5-2)² + 1
4 = 9a + 1
a = 1/3

voltando na eq. canônica da parábola,
x = (1/3).(y - 2)² + 1
x = (1/3).(y² - 4y + 4) + 1
3x = y² - 4y + 7
3x + 4y - y² = 7 ..................... alt. (e)

Élcio,
a parábola não passa por (2, 0); pelo gráfico, passa por (4, 5) e por (4, -1).

poderíamos, também, fazer:
x - 4 = a(y-5)(y+1)
usando o vértice (1, 2) e substituindo vamos obter o "a".
1 - 4 = a(2-5)(2+1)
-3 = a(-3)(3) ------> a = 1/3
voltando na eq. reduzida,
x - 4 = (1/3)(y-5)(y+1)
3x - 12 = y² - 4y - 5
3x + 4y - y² = 7

Tens razão Medeiros: foi erro de meu de interpretação do gráfico: ele passa "perto" de (2, 0)

Muito obrigado! Eu queria achar as coordenadas do foco pois achei que seria outra forma de encontrar a equação da parábola...