logaritmos

por **boris benjamim de paula** Seg 22 Mar 2010, 11:58

letra A) S={1/5} ; B) S={1/9}

por **Euclides** Seg 22 Mar 2010, 13:26

O primeiro:

logo de cara fazendo uma mudança de base dentro do radical:

$\\\log_{\sqrt{5}}x\sqrt{\frac{\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5}}{\log_{\sqrt{5}}x}+\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5}}=-\sqrt{6}\\\\\log^2_{\sqrt{5}}x\left ( \frac{\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5}}{\log_{\sqrt{5}}x}+\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5} \right )=6\\\\\log_{\sqrt{5}}x.\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5}+\log^2_{\sqrt{5}}x.\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5}=6$

calculando um logarítimo:

$\\\log_{\sqrt{5}}5\sqrt{5}=y\,\,/\,\,\left (\sqrt{5} \right )^y=5\sqrt{5}\to \left (\sqrt{5} \right )^y=\sqrt{5^3}\to y=3$

voltando à equação:

$\\3\log_{\sqrt{5}}x.+3\log^2_{\sqrt{5}}x.=6\\log_{\sqrt{5}}x.+\log^2_{\sqrt{5}}x.=2$

uma substituição:

$\\\log_{\sqrt{5}}x.=a\\\\a+a^2-2=0\to \Delta=9\\\\\begin{cases}a=2\\a=-1 \end{cases}$

Finalmente,

$\\\log_{\sqrt{5}}x=2\to x=\sqrt{5^2}\to x=5\\log_{\sqrt{5}}x=-1\to x=\frac{\sqrt{5}}{5}$

por **Euclides** Seg 22 Mar 2010, 13:49

O segundo:

$\\\sqrt{1+\log_x\sqrt{27}}.\log_3x+1=0\\\\\sqrt{1+\frac{\log_3\sqrt{27}}{\log_3x}}.\log_3x=-1\to \log^2_3x+\log_3x.\log_3\sqrt{27}=1\\\\\log_3\sqrt{27}=y\,\,/\,\,3^y=3^{\frac{3}{2}}\to y=\frac{3}{2}\\\log_3x=a$

$\\a^2+\frac{3a}{2}-1=0\to 2a^2+3a-2=0\to \Delta=25\\\\\begin{cases}a=\frac{1}{2\\a=-4} \end{cases}\\\\\log_3x=\frac{1}{2}\to x=\sqrt{3}\\\\\log_3x=-4\to x=3^{-4}$