Função Derivável

por sergio baltar Qui 26 Set 2013, 18:09

Sejam

por **Elcioschin** Qui 26 Set 2013, 18:14

??????

por sergio baltar Qui 26 Set 2013, 18:20

Sejam α, β ∈ R e Y=f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação:
X^2 - 2BetaY + alfaXY - 1=0

Sabendo que 1 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(-1,2), determine alfa e beta.

Obs: sem gabarito,obrigado

por **Elcioschin** Qui 26 Set 2013, 19:37

x² - 2βy + αxy - 1 = 0

P(-1, 2) ----> (-1)² - 2β.2 + α(-1).2 - 1 = 0 ---> 1 - 4β - 2α - 1 = 0 ---> α = - 2β ---> I

Derivando ----> 2x - 2βy' + αxy' + αy = 0 ----> y' = (αy + 2x)/(2β - αx)

P(-1, 2) ----> y' = 1 ----> 1 = [α.2 + 2(-1)]/[2β - α(-1)] ---> 1 = (2α - 2)/(2β + α) ----> α = 2β + 2 ---> II

II = I ----> 2β + 2 = - 2β ----> β = - 1/2 ----> α = 1

Por favor confira as contas

por sergio baltar Qui 26 Set 2013, 19:43

Elcio, como sempre, vc me ajuda muito. Muito obrigado.

Só queria uma outra ajuda, como que vc chegou nesta derivação:Derivando ----> 2x - 2βy' + αxy' + αy = 0 ----> y' = (αy + 2x)/(2β - αx)?

por **Elcioschin** Qui 26 Set 2013, 22:00

Na equação existem duas variáveis: x, y
A derivada deve levar isto em consideração:

1) A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções
2) A derivada de x² é 2x
3) A derivada de - 2βy é (- 2β).(dy/dx) = - 2βy'
4) A derivada αxy é (αx).(dy/dx) + (αy).(dx/dx) = αxy' + αy
5) A derivada de αy é α.(dy/dx) = αy'
6) A derivada de -1 vale 0

Depois basta rearranjar os termos, colocar y' em evidência e calcular y'