Octaedro
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Octaedro
por vzz Ter 27 Ago 2013, 17:20
Seja um octaedro regular de aresta a.
Calcule a distância entre duas faces opostas.
Resposta: aV6/3
Irei postar o gabarito oficial da PUC com a resolução da questão.
Ela está na página 8. Número 3,Letra c).
Não consigo enxergar porque o trapézio é retângulo.
http://www.puc-rio.br/vestibular/repositorio/provas/2010/download/gabaritos/VEST2010PUCRio_GABARITOS_GRUPO1_23102009.pdf
Obrigado pela ajuda.
Calcule a distância entre duas faces opostas.
Resposta: aV6/3
Irei postar o gabarito oficial da PUC com a resolução da questão.
Ela está na página 8. Número 3,Letra c).
Não consigo enxergar porque o trapézio é retângulo.
http://www.puc-rio.br/vestibular/repositorio/provas/2010/download/gabaritos/VEST2010PUCRio_GABARITOS_GRUPO1_23102009.pdf
Obrigado pela ajuda.
vzz- Jedi
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Re: Octaedro
por Elcioschin Ter 27 Ago 2013, 18:59
Faça um bom desenho do octaedro
Sejam V e V' os vértices do octógono, fora da base quadrada ABCD,
Sejam M e M' os pontos médios de AB e CD, e P o centro de ABCD
Sejam O e O' os pés das perpendiculares baixadas de P sobre VM e V'M'
Seja θ = V^MP = V'^M'P
VM = VA.cos30º ----> VM = a.\/3/2
No triângulo retângulo VPM ----> cosθ = PM/VM ----> cosθ = (a/2)/(a.\/3/2) ----> cosθ = \/3/3
cos²θ = 1/3 ----> sen²θ = 2/3 ----> senθ = \/6/3
No triângulo retângulo POM ----> senθ = OP/PM ----> \/6/3 = OP/(a/2) ----> OP = a.\/6/6
DE modo similar ----> O'P = OP ----> O'P = a.\/6/6
Distância entre duas faces opostas ----> OO' = OP + O'P ----> OO' = a.\/6/6 + a.\/6/6 ----> OO' = a.\/6/3
Sejam V e V' os vértices do octógono, fora da base quadrada ABCD,
Sejam M e M' os pontos médios de AB e CD, e P o centro de ABCD
Sejam O e O' os pés das perpendiculares baixadas de P sobre VM e V'M'
Seja θ = V^MP = V'^M'P
VM = VA.cos30º ----> VM = a.\/3/2
No triângulo retângulo VPM ----> cosθ = PM/VM ----> cosθ = (a/2)/(a.\/3/2) ----> cosθ = \/3/3
cos²θ = 1/3 ----> sen²θ = 2/3 ----> senθ = \/6/3
No triângulo retângulo POM ----> senθ = OP/PM ----> \/6/3 = OP/(a/2) ----> OP = a.\/6/6
DE modo similar ----> O'P = OP ----> O'P = a.\/6/6
Distância entre duas faces opostas ----> OO' = OP + O'P ----> OO' = a.\/6/6 + a.\/6/6 ----> OO' = a.\/6/3
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Octaedro
por vzz Ter 27 Ago 2013, 20:00
Mestre, ''Sejam O e O' os pés das perpendiculares baixadas de P sobre VM e V'M' '' significa traçar a altura relativa ao lado VM?
VA é 2/3 da altura de um triângulo equilátero. Não deveria ser aV3/3?
Obrigado pela ajuda, Mestre.
VA é 2/3 da altura de um triângulo equilátero. Não deveria ser aV3/3?
Obrigado pela ajuda, Mestre.
vzz- Jedi
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Re: Octaedro
por Jose Carlos Ter 27 Ago 2013, 21:30
Olá vzz e Elcio,
Eu fiz um desenho e achei uma outra forma, sei que será redundante mas tive um bom trabalho com o desenho e resolvi postar assim mesmo. Desculpem-me.
VA = (a*\/3)/2
VB = (2/3)*VA = (2/3)*( a*\/3 )/2 = (a*\/3)/3
VO² = [ (a*\/3)/2 ]² - (a/2)² -> VO = (a*\/2)/2
VO² = VB² + BO²
2*a²/4 = BO² + [(a*\/3)/3]²
a²/2 = BO² + (3*a²/9)
BO² = ( a²/2 ) - ( a²/3 )
BO² = a²/6
BO = a/\/6 = (a*\/6)/6
- distância entre as faces -> D = 2*BO = 2*( a*\/6 )/6 -> D = (a*\/6 )/3
Eu fiz um desenho e achei uma outra forma, sei que será redundante mas tive um bom trabalho com o desenho e resolvi postar assim mesmo. Desculpem-me.
VA = (a*\/3)/2
VB = (2/3)*VA = (2/3)*( a*\/3 )/2 = (a*\/3)/3
VO² = [ (a*\/3)/2 ]² - (a/2)² -> VO = (a*\/2)/2
VO² = VB² + BO²
2*a²/4 = BO² + [(a*\/3)/3]²
a²/2 = BO² + (3*a²/9)
BO² = ( a²/2 ) - ( a²/3 )
BO² = a²/6
BO = a/\/6 = (a*\/6)/6
- distância entre as faces -> D = 2*BO = 2*( a*\/6 )/6 -> D = (a*\/6 )/3
____________________________________________
...se acupuntura adiantasse, porco-espinho viveria para sempre....
Jose Carlos- Grande Mestre
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Re: Octaedro
por vzz Ter 27 Ago 2013, 21:40
Primeiramente gostaria de agradecer muito a vocês, Mestres. Essa questão está acima do meu nível mas estou treinando para conseguir evoluir.
O desenho ficou excelente e me proporcionou o entendimento da questão após mais de 2 horas quebrando a cabeça tentando faze-la.
Obrigado.
O desenho ficou excelente e me proporcionou o entendimento da questão após mais de 2 horas quebrando a cabeça tentando faze-la.
Obrigado.
vzz- Jedi
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