Determine uma base ortonormal

por Gilson dos santos lima Sex 16 Ago 2013, 14:04

Seja v = (1,−1, 0). Determine uma base ortonormal β = {u1, u2, u3} do R^3 tal que u3 tenha mesma direção e
sentido de v e u1 × u2 = u3.

por **aryleudo** Sáb 17 Ago 2013, 17:00

Gilson dos santos lima escreveu:Seja v = (1,−1, 0). Determine uma base ortonormal β = {u1, u2, u3} do R^3 tal que u3 tenha mesma direção e
sentido de v e u1 × u2 = u3.

Suponha v3 = (1, 1, 0) {está na mesma direção de v}.

Agora suponha v2 = (0, 0, 1) {perpendicular a v3, porque o produto interno euclidiano v2.v3 = 0}

Agora suponha v1 = (-1, 1, 0) {perpendicular a v3, porque o produto interno euclidiano v1.v3 = 0}

Verificando que v1 X v2 = v3
$v1\times v2=\begin{bmatrix} i &j &k \\ -1&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix} = 1i +1j+0k=(1,1,0)=v3$

Normalizando os vetores v1, v2 e v3:
$\\|v1|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\\\\ |v2|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1\\\\ |v3|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

os vetores normalizados de v1, v2 e v3 são u1, u2 e u3, respectivamente:
$\\\\ u1 = \frac{v1}{\sqrt{2}}=\left ( \frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0 \right ) \\\\ u2 = \frac{v2}{1}=(0,0,1) \\\\ u3 =\frac{v3}{\sqrt{2}}= \left ( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0 \right )$

Para finalizar basta verificar que u1, u2 e u3 geram o R³:
$\\\\ au1 + bu2 + cu3 = w \\\\ \left ( \frac{-a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}},0 \right )+(0,0,b)+\left ( \frac{c}{\sqrt{2}},\frac{c}{\sqrt{2}},0 \right )= (x,y,z)\\\\ \left\{\begin{matrix} \frac{c-a}{\sqrt{2}} = x \\ \frac{c+a}{\sqrt{2}} = y\\ b = z \end{matrix}\right.$

Mostre que temos um SPD (Sistema Possível e Determinado) acima, ou seja, possui solução única (Isso conclui a prova!).