Análise Combinátoria

por ViniciusAlmeida12 Qui 08 Ago 2013, 09:49

(UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, todos variando de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera, mas sabe que atende às condições:

1ª) se o primeiro algarismo é ímpar, então o último também é ímpar; 2ª) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; 3ª) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.

Quantas combinações diferentes atendem às condições do Dr. Z?

Gostaria, se possível, de uma explicação passo a passo. Já li essa questões milhões de vezes e não consigo entender.

por jpdefo Qui 08 Ago 2013, 19:37

Bem, vamos comecar pensando nos algarismos do milhar e das centenas:
A soma deles tem que ser 5, logo, as combinacoes possiveis sao: (0,5) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (5,0)
Ou seja, existem 6 possibilidades, nesses dois numeros.
Agora, vamos usar isto nos proximos calculos.
Caso o primeiro e o quinto numeros sejam par, e iguais, vao haver 5 possibilidades de combinacoes de numeros, porem, o ultimo numero e fixo.
Ou seja, seguindo a esta preposicao, vemos que existem 5 numeros que ocupam a casa do milhar, mas somente 1 que ocupa a casa das unidades, e este é o mesmo numero da casa do milhar.
Ou seja, existiria 5 possiveis algarismos na casa dos 10 mil. existiria 6 algarismos possiveis na casa do milhar e da centena junto, 10 algarismos possiveis na casa da dezena e o algarismo restante, na casa da unidade, mutiplicando 10.5.6.1 da exatas 300 possibilidades.
Mas ainda falta uma preposicao, o primeiro algarismo e par e o ultimo tambem.
Segue a mesma regra do anterior, porem, na casa da unidade, existem 5 possibilidades.
Ou seja, seria 10.5.6.5 dando exatas 1500 possibilidades.
Ao somar 1500 + 300 = 1800
A resposta final sao 1800 possibilidades.

por @Grazi_elly Sáb 15 Ago 2020, 16:27

Porque não seria 5.6.6.10.5 que daria 9000 e 5.6.6.10.1 que daria 1800 ??

por **Emanuel Dias** Sex 21 Ago 2020, 18:03

@Grazi_elly escreveu:Porque não seria 5.6.6.10.5 que daria 9000 e 5.6.6.10.1 que daria 1800 ??

5 possibilidades de ser ímpar, 5 possibilidades para o último, 10 possibilidades para o 4º. Resta fazer para o segundo e terceiro.

(0,5), (1,4),(2,3). 3 possibilidades, mas eles podem permutar entre si, 3*2!=6

Com isso preenchemos todas as possibilidades

5*5*6*10=1500

O que o colega ali fez foi contar todas as possibilidades já incluindo as permutações, e ele fez as escolhas simultaneamente do segundo e terceiro digito, uma vez escolhido o segundo e terceiro dígito (6 possibilidades), restam apenas 3 dígitos para serem escolhidos, 2 precisam ser ímpares, 5 possibilidade para cada, e o dígito restante não tem restrição, por fim , 5*5*6*10 (note o produto de apenas 4 números, mesmo tendo que escolher 5 dígitos para compor a senha, isso ocorre porque ao multiplicar por 6 estamos contando todas as possibilidades tanto do segundo quanto terceiro dígito). cheers