Circunferência Geo analítica

Olá, lá vai... 
Uma circunferencia de raio 2, situada no primeiro quadrante, tangencia o eixo dos x e a reta y = x. Qual é a abscissa do centro dessa circuferência?

Grato desde já...

Euclides escreveu:

Obrigado euclides, mas há alguma saída para essa questão sem utilizar formula de arcos metade?
Tentei duas leis dos cossenos formando um triangulo com dois lados com o raio juntando os pontos de tangencia e depois usando esse lado como oposto ao angulo de 45, tentando achar o tamanho dos novos lados acharia X, mas deu raiz de 2 dentro de raiz....

 
Bom, a reta bissetriz (x = y) forma 45° com o eixo das abscissas. A outra reta (que passa pelo centro da circunferência) é a bissetriz dessa reta. Logo, essa reta forma (45/2)º com o eixo das abscissas.

A tangente de (45/2), que chamarei de t (e talvez você já a tenha na memória) é:
tg(45) = 2t/(1 - t²)
1 - t² = 2t
t = √2 - 1
Como t = tg(45/2) = a/b, onde a é a coordenada y e b é a coordenada x do centro da circunferência, fica (com a = 2, como se pode notar na imagem):
√2 - 1 = 2/b
b = 2(√2 + 1)




Outro modo, mais analítico:


A equação da circunferência é:
(x - a)² + (y - 2)² = 4

A equação da bissetriz dos eixos é:
x - y = 0  --->  x = y

Substituindo y na equação da circunferência:
x² - 2ax + a² + x² - 4x + 4 = 4
2x² - (2a + 4)x + a² = 0

O discriminante é nulo (reta tangente, logo só há uma dupla (x, y) que satisfaça):
4a² + 16a + 16 - 8a² = 0
a² - 4a - 4 = 0

a = 2(√2 + 1)


Você pode também usar a equação das bissetrizes (a segunda reta é bissetriz da primeira com o eixo das abscissas), fica bem fácil.


OBS: Euclides, vou enviar uma solução igual a sua por que eu já tinha escrito antes da segunda e pode ficar mais lúcido pro rapaz, tá?

Foi muito bom, denisrocha!

para um valor numérico



e também

Entendi, Obrigado Denis e Euclides...