Indução Finita

por Man Utd Ter 23 Jul 2013, 13:55

Prove que $Indução Finita Gif$ ,∀ n ∈ ℕ* com n≥2.

por **Giiovanna** Ter 23 Jul 2013, 15:46

De fato, para n = 2, verifica-se que a igualdade é verdadeira:

$Indução Finita Gif$

Suponhamos que $Indução Finita Gif$ . Mostraremos que P(n+1) também deverá ser:

$Indução Finita Gif$

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por n+1 ( n>=2)

$Indução Finita Gif$

Podemos verificar que $Indução Finita Gif$ , n >=2 (natural)

Dividindo ambos os lados da desigualdade acima por (n+1):

$Indução Finita Gif$

A desigualdade é obviamente verdadeira para qualquer n >= 2. Mas podemos verificá-la facilmente desenvolvendo o binômio de newton para o termo à direita:

$Indução Finita Gif$

$Indução Finita Gif$

Assim, temos que:

$Indução Finita Gif$

Logo, pelo Princípio da Indução Finita

$Indução Finita Gif$