Indução Finita

Demonstre , usando o princípio da indução finita :

6|n(n+1)(n+2) , a  dúvida foi na P(k+1), qual relação eu uso para provar?



Grato!

Fazendo um deslocamento para facilitar os cálculos, temos

Hipótese, 6 | (n - 1)n(n + 1) = n^3 - n para todo n natural

Verificando na base para n = 0

6 | 0^3 - 0 = 0 Ok!

Assuma que é verdade para um determinado valor de n que chamaremos de k, e com isso queremos provar que é válido para n = k + 1


Hipótese: 6 | k^3 - k

Tese: 6 | (k + 1)^3 - (k + 1)


Desenvolvendo (k + 1)^3 - (k + 1)

(k + 1)[(k + 1)^2 - 1] = (k + 1)(k^2 + 2k) = k^3 + 3k^2 + 2k

Some e subtraia k

k^3 + 3k^2 + 2k + k - k = k^3 - k + 3k^2 + 3k = k^3 - k + 3k(k + 1)

Por hipótese, temos que 6 divide k^3 - k, e perceba que 3k(k + 1) também é múltiplo de 6, pois k(k + 1) é par, então

k(k + 1) = 2y

k^3 - k + 3k(k + 1) = k^3 - k + 6y

Portanto, 6 divide n^3 - n para todo n natural

Saiu de onde : 6 | (n - 1)n(n + 1) 


Grato!

Tirei uma unidade de n


n(n + 1)(n + 2)

Tirando uma unidade, temos

(n - 1)n(n + 1)

Mas isso não interfere em nada na prova, tirei uma unidade apenas preferência

Tem como fazer sem usar a retirada da unidade?

HIP. 6 | k(k + 1)(k + 2)

(k + 1)(k + 2)(k + 3) = (k + 1)(k^2 + 5k + 6) = k^3 + 5k^2 + 6k + k^2 + 5k + 6 = k^3 + 6k^2 + 11k + 6

Some e subtraia k

k^3 - k + 6k^2 + 12k + 6 = k^3 - k + 6(k^2 + 2k + 1)

Portanto 6 divide n(n + 1)(n + 2) para todo n natural

Obrigado aí  Caique e  superaks, ajudaram bastante!