Triângulo
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Triângulo
por JuniorE Dom 21 Jul 2013, 20:39
Se P é um ponto interno de um triângulo ABC e x=PA, y=PB, z=PC, mostre que x+y+x < a+b+c.
JuniorE- Jedi
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Re: Triângulo
por Gabriel Rodrigues Seg 22 Jul 2013, 10:22
Prolongue os lados x, y e z até os lados do triângulo e use desigualdade triangular:
y < b + c''
y < a + c'
2y < a + b + c (I)
x < a + b''
x < c + b'
2x < a + b + c (II)
z < a' + b
z < a'' + c
2z < a + b + c (III)
2 . (x + y + z) < 3 . (a + b + c)
x + y + z < 3/2 (a + b + c) -> a + b + c < 3/2 a + b + c -> x + y + z < a + b + c
Essa demonstração não é muito o que o exercício pede... eu já fiz uma vez, e dá certinho, sem precisar usar transitividade. Vou procurar aqui nos meus cadernos e depois posto.
y < b + c''
y < a + c'
2y < a + b + c (I)
x < a + b''
x < c + b'
2x < a + b + c (II)
z < a' + b
z < a'' + c
2z < a + b + c (III)
2 . (x + y + z) < 3 . (a + b + c)
x + y + z < 3/2 (a + b + c) -> a + b + c < 3/2 a + b + c -> x + y + z < a + b + c
Essa demonstração não é muito o que o exercício pede... eu já fiz uma vez, e dá certinho, sem precisar usar transitividade. Vou procurar aqui nos meus cadernos e depois posto.
Gabriel Rodrigues- Matador
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Re: Triângulo
por Gabriel Rodrigues Seg 22 Jul 2013, 12:33
Engjr, achei!
Perceba que x, y e z formam 3 triângulos, de lados b,x,y ; c,x,z ; a,z,y.
Os lados a, b e c são os maiores de cada triângulo, pois estão opostos aos maiores ângulos (os ângulos formados por x,y e z em P são os maiores e isso pode ser demonstrado também).
Relacionamos:
b > x
b > y
c > x
c > z
a > z
a > y
2. (a + b + c) > 2. (x + y + z)
a + b + c > x + y + z
Considere essa demonstração, pois aquela não está totalmente correta (x, y e z são segmentos que partem de P até os vértices e eles não estão representados assim na demonstração do tópico anterior).
Abraço
Perceba que x, y e z formam 3 triângulos, de lados b,x,y ; c,x,z ; a,z,y.
Os lados a, b e c são os maiores de cada triângulo, pois estão opostos aos maiores ângulos (os ângulos formados por x,y e z em P são os maiores e isso pode ser demonstrado também).
Relacionamos:
b > x
b > y
c > x
c > z
a > z
a > y
2. (a + b + c) > 2. (x + y + z)
a + b + c > x + y + z
Considere essa demonstração, pois aquela não está totalmente correta (x, y e z são segmentos que partem de P até os vértices e eles não estão representados assim na demonstração do tópico anterior).
Abraço
Gabriel Rodrigues- Matador
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Re: Triângulo
por JuniorE Seg 22 Jul 2013, 13:14
Ah agora sim, é possível demonstrar que os ângulo em P são maiores que os ângulos dos triângulos menores pelo teorema dos ângulos externos, certo?
obrigado.
obrigado.
JuniorE- Jedi
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Re: Triângulo
por Gabriel Rodrigues Seg 22 Jul 2013, 13:29
Exatamente... apesar de termos de deduzir um pouco, pois o enunciado não dá se esses lados são os maiores ou se os ângulos são os maiores e precisamos de uma dessas informações para demonstrar algo. Mas acho que não tem problema afirmar que a, b e c são maiores que x, y e z.
Gabriel Rodrigues- Matador
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