Triângulo

Se P é um ponto interno de um triângulo ABC e x=PA, y=PB, z=PC, mostre que x+y+x < a+b+c.

Prolongue os lados x, y e z até os lados do triângulo e use desigualdade triangular:

y < b + c''
y < a + c'
2y < a + b + c (I)

x < a + b''
x < c + b'
2x < a + b + c (II)

z < a' + b
z < a'' + c
2z < a + b + c (III)

2 . (x + y + z) < 3 . (a + b + c)
x + y + z < 3/2 (a + b + c) -> a + b + c < 3/2 a + b + c -> x + y + z < a + b + c

Essa demonstração não é muito o que o exercício pede... eu já fiz uma vez, e dá certinho, sem precisar usar transitividade. Vou procurar aqui nos meus cadernos e depois posto.

Entendi, obrigado.

Engjr, achei!

Perceba que x, y e z formam 3 triângulos, de lados b,x,y ; c,x,z ; a,z,y. 

Os lados a, b e c são os maiores de cada triângulo, pois estão opostos aos maiores ângulos (os ângulos formados por x,y e z em P são os maiores e isso pode ser demonstrado também). 

Relacionamos:

b > x
b > y

c > x
c > z

a > z
a > y

2. (a + b + c) > 2. (x + y + z) 

a + b + c > x + y + z

Considere essa demonstração, pois aquela não está totalmente correta (x, y e z são segmentos que partem de P até os vértices e eles não estão representados assim na demonstração do tópico anterior).

Abraço

Ah agora sim, é possível demonstrar que os ângulo em P são maiores que os ângulos dos triângulos menores pelo teorema dos ângulos externos, certo?

obrigado.

Exatamente... apesar de termos de deduzir um pouco, pois o enunciado não dá se esses lados são os maiores ou se os ângulos são os maiores e precisamos de uma dessas informações para demonstrar algo. Mas acho que não tem problema afirmar que a, b e c são maiores que x, y e z.