Triângulo
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Triângulo
por LPavaNNN Sáb 20 Jul 2013, 15:33
Num triângulo isósceles ABC, M é um ponto qualquer da base BC.Demonstre que:
^2-(AM)^2=(MB).(MC) "(AB)^2-(AM)^2=(MB).(MC)")
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Re: Triângulo
por Luck Sáb 20 Jul 2013, 15:59
Como o triângulo é isósceles AB=AC= b ,seja BC = a , AM = l , MB=x , MC = y entao queremos provar que : b² - l² = xy
Aplicando a relação de Stewart:
AB²/MB + AC²/MC - AM²/MB.MC = 1
b²/ax + b²/ay - l²/xy = 1 , multiplicando por axy:
b²y + b²x - al² = axy , sendo a = (x+y)
(x+y)b² - (x+y)l² = (x+y)xy
b² - l² = xy , c.q.d
Aplicando a relação de Stewart:
AB²/MB + AC²/MC - AM²/MB.MC = 1
b²/ax + b²/ay - l²/xy = 1 , multiplicando por axy:
b²y + b²x - al² = axy , sendo a = (x+y)
(x+y)b² - (x+y)l² = (x+y)xy
b² - l² = xy , c.q.d
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Re: Triângulo
por LPavaNNN Sáb 20 Jul 2013, 21:21
Obrigado Luck ,mas n tem outra maneira de resolução?? eu gosto de seguir a ''rotina'' do livro, e ainda n chegou na parte de Stewart, ou lei dos senos ou cossenos.
A dica do livro é '' use pitágoras '', n onsigo nem imaginar como fazer isso nesse exercício, alguma idéia?
A dica do livro é '' use pitágoras '', n onsigo nem imaginar como fazer isso nesse exercício, alguma idéia?
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Re: Triângulo
por Elcioschin Sáb 20 Jul 2013, 22:15
Temos
1) AMB e CMB são triângulos retângulo em M
2) MB = MC
No triângulo retângulo AMB:
AB² = AM² + MB²
AB² = AM² + MB.MB
AB² - AM² = MB.MC
1) AMB e CMB são triângulos retângulo em M
2) MB = MC
No triângulo retângulo AMB:
AB² = AM² + MB²
AB² = AM² + MB.MB
AB² - AM² = MB.MC
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Re: Triângulo
por LPavaNNN Sáb 20 Jul 2013, 22:41
Mas... dessa maneira, apenas prova a relação pra quando M for o ponto médio, n prova pra quando M for um ponto qualquer da base, como diz o enunciado
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Re: Triângulo
por Luck Sáb 20 Jul 2013, 22:54
Elcio, na sua solução vc particularizou M como ponto médio ,mas M é um ponto qualquer..
LPavann, sem Stewart vc pode fazer assim:
Seja AH a altura do triângulo, e M um ponto qualquer. AB=AC = b , BC = a
BM = x , MC = y , AM = l entao HM = (x-(a/2) )
No triângulo AHM, pitágoras:
l² = (x-(a/2))² + h² (I)
no triângulo AHC , pitágoras:
b² = h² + (a/2)² (II)
(II) - (I) :
b² - l² = (a/2)² - (x - (a/2) )²
b² - l² = a²/4 - ( x² -ax + a²/4 )
b² - l² = ax - x²
b² - l² = x(a-x) , MC = (a-x) = y , logo:
b² - l² = xy , c.q.d
LPavann, sem Stewart vc pode fazer assim:
Seja AH a altura do triângulo, e M um ponto qualquer. AB=AC = b , BC = a
BM = x , MC = y , AM = l entao HM = (x-(a/2) )
No triângulo AHM, pitágoras:
l² = (x-(a/2))² + h² (I)
no triângulo AHC , pitágoras:
b² = h² + (a/2)² (II)
(II) - (I) :
b² - l² = (a/2)² - (x - (a/2) )²
b² - l² = a²/4 - ( x² -ax + a²/4 )
b² - l² = ax - x²
b² - l² = x(a-x) , MC = (a-x) = y , logo:
b² - l² = xy , c.q.d
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