Triângulo

por **LPavaNNN** Sáb 20 Jul 2013, 15:33

Num triângulo isósceles ABC, M é um ponto qualquer da base BC.Demonstre que:

$(AB)^2-(AM)^2=(MB).(MC)$

por Luck Sáb 20 Jul 2013, 15:59

Como o triângulo é isósceles AB=AC= b ,seja BC = a , AM = l , MB=x , MC = y entao queremos provar que : b² - l² = xy
Aplicando a relação de Stewart:
AB²/MB + AC²/MC - AM²/MB.MC = 1
b²/ax + b²/ay - l²/xy = 1 , multiplicando por axy:
b²y + b²x - al² = axy , sendo a = (x+y)
(x+y)b² - (x+y)l² = (x+y)xy
b² - l² = xy , c.q.d

por **LPavaNNN** Sáb 20 Jul 2013, 21:21

Obrigado Luck ,mas n tem outra maneira de resolução?? eu gosto de seguir a ''rotina'' do livro, e ainda n chegou na parte de Stewart, ou lei dos senos ou cossenos.

A dica do livro é '' use pitágoras '', n onsigo nem imaginar como fazer isso nesse exercício, alguma idéia?

por **Elcioschin** Sáb 20 Jul 2013, 22:15

Temos

1) AMB e CMB são triângulos retângulo em M

2) MB = MC

No triângulo retângulo AMB:

AB² = AM² + MB²

AB² = AM² + MB.MB

AB² - AM² = MB.MC

por **LPavaNNN** Sáb 20 Jul 2013, 22:41

Mas... dessa maneira, apenas prova a relação pra quando M for o ponto médio, n prova pra quando M for um ponto qualquer da base, como diz o enunciado

por Luck Sáb 20 Jul 2013, 22:54

Elcio, na sua solução vc particularizou M como ponto médio ,mas M é um ponto qualquer..

LPavann, sem Stewart vc pode fazer assim:
Seja AH a altura do triângulo, e M um ponto qualquer. AB=AC = b , BC = a
BM = x , MC = y , AM = l entao HM = (x-(a/2) )
No triângulo AHM, pitágoras:
l² = (x-(a/2))² + h² (I)
no triângulo AHC , pitágoras:
b² = h² + (a/2)² (II)
(II) - (I) :
b² - l² = (a/2)² - (x - (a/2) )²
b² - l² = a²/4 - ( x² -ax + a²/4 )
b² - l² = ax - x²
b² - l² = x(a-x) , MC = (a-x) = y , logo:
b² - l² = xy , c.q.d

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