Sabendo que

por Chronoss Qui 18 Jul 2013, 08:20

Sabendo que : $\frac{1}{\left ( 2n\: +\: 1 \right )\left ( 2n\: +\: 5 \right )}\: =\: \frac{\frac{1}{4}}{\left ( 2n\: +\: 1 \right )}\: -\: \frac{\frac{1}{4}}{\left ( 2n\: +\: 5 \right )}$

Calcule o valor da soma : $\frac{1}{3\left ( 7 \right )}\: +\: \frac{1}{5\left ( 9 \right )}\: +\: \frac{1}{7\left ( 11 \right )}\: +\: ...\: +\: \frac{1}{\left ( 2n\: +\: 1 \right )\left ( 2n\: +\: 5 \right )}$

Gabarito:

por Luck Qui 18 Jul 2013, 13:30

1/(2n+1)(2n+5) = (1/4) [ 1/(2n+1) - 1/(2n+5) ]

1/(3.7) = (1/4)[ (1/3) - (1/7) ]
1/(5.9) = (1/4)[ (1/5) - (1/9) ]
1/(7.11) = (1/4)[ (1/7) - (1/11) ]
1/(9.13) = (1/4)[ (1/9) - (1/13) ]
....
1/(2n-3)(2n+1) = (1/4) [(1/(2n-3) - 1/(2n+1) ]
1/(2n-1)(2n+3) = (1/4)[ 1/(2n-1) - 1/(2n+3) ]
1/(2n+1)(2n+5) = (1/4)[ 1/(2n+1) - 1/(2n+5) ]
------------------> soma telescópica:

S = (1/4) [ (1/3) + (1/5) - 1/(2n+3) - 1/(2n+5) ]
S = (2/15) - (1/4(2n+3)) - (1/4(2n+5))

por Chronoss Qui 18 Jul 2013, 14:40

Ainda não tive contato com as técnicas usadas na resolução.
-------------------------------------------------------------------------------

Mas , pelo que entendi : a soma esta em função de n , para cada valor que n adota a expressão sempre possui essa "forma" , pois ela é cíclica , logo a medida que a soma cresce em termos , alguns se anulam , e os remanescentes sempre deixam a expressão da soma $S_{n}$ com a forma : $\frac{2}{15}\: -\: \frac{1}{4\left ( 2n\: +\: 3 \right )}\: -\: \frac{1}{4\left ( 2n\: +\: 5 \right )}$

Seria isso?

por Luck Qui 18 Jul 2013, 14:47

Chronoss escreveu:Ainda não tive contato com as técnicas usadas na resolução.
-------------------------------------------------------------------------------
Mas , pelo que entendi : a soma esta em função de n , para cada valor que n adota a expressão sempre possui essa "forma" , pois ela é cíclica , logo a medida que a soma cresce em termos , alguns se anulam , e os remanescentes sempre deixam a expressão da soma $S_{n}$ com a forma : $\frac{2}{15}\: -\: \frac{1}{4\left ( 2n\: +\: 3 \right )}\: -\: \frac{1}{4\left ( 2n\: +\: 5 \right )}$

Seria isso?

sim, no caso nao precisa conhecer nenhuma técnica, eu apenas somei ... o enunciado facilitou dando o termo geral, daí ao somar tudo todos os termos cortam sobrando apenas os dois últimos e dois primeiros , esse tipo de soma é chamado soma telescópica.

por Chronoss Qui 18 Jul 2013, 15:28

Entendi , eu também tinha começado somando mas acabei com um resultado diferente . Razz

-------------------------------------------------------------------------------
Gostaria de ler mais a respeito , conhece algum material bom?

por Luck Qui 18 Jul 2013, 16:07

Chronoss escreveu:Entendi , eu também tinha começado somando mas acabei com um resultado diferente .
-------------------------------------------------------------------------------
Gostaria de ler mais a respeito , conhece algum material bom?

De teoria é só isso mesmo.. procure mais exercícios sobre isso no fórum, ja postaram muitas vezes.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_telesc%C3%B3pica