polinômios

calcule M+P para que o polinômio X^3 - 8^2 - MX + P  seja divisível por X^2 - 5X + 9


gabarito: (-51)

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Há outra opção usando as 'Relações de Girard'.

Sendo x[1] e x[2] as raízes do polinômio D(x) = x² - 5.x + 9, tem-se, por Girard,  que: x[1].x[2] = 9 e x[1] + x[2] = 5.

Para que o polinômio P(x) = x³ - 8.x² - M.x + P seja divisível por D(x) todas as raízes de D(x) devem ser raízes de P(x), portanto, além de x[1] e x[2], P(x) possui outra raiz x[3] (pois, de acordo com o Teorema de D'Alembert, um polinômio de grau 'n' possui exatamente 'n' raízes).

Usando novamente Girard para o polinômio P(x), vem:
1)x[1] + x[2] + x[3] = 8 => x[3] = 3

2) P = -x[1].x[2].x[3] = -9.x[3] => P = -27

3)M = -(x[1].x[2] + x[1].x[3] + x[2].x[3]) => M = -(9 + 3.[(5 + (V11).i)/2] + 3.[(5 - (V11).i)/2])  <=> M = -24

Assim: M + P = -27 - 24 = -51