Intersecções e raízes de equação.

por **mauk03** Sex 07 Jun 2013, 21:52

Determine os valores de k para os quais a circunferência de centro (0,k) e raio 2 intercepta a parábola y=x² em quatro pontos distintos.

Eu cheguei a equação x^4+(1-2k)x^2+(k^2-4), que deve ter quatro raízes reais. Queria saber se está correto, fazendo z=x², achar os valores de k considerando que a equação de de 2° grau obtida tenha duas raízes positivas. Não tenho o gabarito.

por **Elcioschin** Sex 07 Jun 2013, 22:02

Sua equação está correta.

Para existirem 4 intercessões o discriminante ∆ da equação biquadrada deverá ser positivo:

∆ = b² - 4ac ----> ∆ = (1 - 2k)² - 4.1.(k² - 4) -----> ∆ = (1 - 4k + 4k²) - 4k² + 16 ----> ∆ = - 4k + 17

∆ > 0 ----> - 4k + 17 > 0 ----> k < 17/4

por **mauk03** Sex 07 Jun 2013, 22:25

Mas Elcioschin, se k=1 por exemplo, vai ter x^2+(y-1)^2=4, que intercepta a parábola y=x² em apenas dois pontos. Creio que além do discriminante, a soma e o produto das raízes também devem ser maiores que zero.

por **Elcioschin** Sex 07 Jun 2013, 22:45

Você tem tazão Mauk

Desenhe a parábola y = x²
O centro C(0, k) da circunferência está sobre o eixo y
Se k < -2 a circunferência não toca na parábola (fica abaixo dela)
Se k = - 2 a circunferência tangencia a paráboa na origem
Se - 2 < k < 2 a circunferência cortará a parábola em apenas 2 pontos
S k = 2 a circunferência corta a parábla em 3 pontos (sendo um deles a origem)
O valor de k deverá ser maior que 2, portanto, para que, traçado o círculo, ele corte a parábola acima da origem, em 4 pontos