DerivadaS

por Violeiro Sex 07 Jun 2013, 13:21

Seja:
$f\left ( x,y \right )=x^2y+cosy+ysenx$
Determinar:

$\frac{\partial^2f }{\partial x^2}$

$\frac{\partial^2f }{\partial x\partial y}$

$\frac{\partial^2f }{\partial y\partial x}$

por Matheus Fillipe Sex 07 Jun 2013, 15:08

para a primeira, desprezamos os termos independentes:

$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}= y^\frac{\partial \frac{\partial (x^{2}+sen(x)))}{\partial x}}{\partial x}= y\frac{\mathrm{d} (2x+cos(x))}{\mathrm{d} x}=y(2-sen(x))$

Note essa interessante propriedade. Para a segunda inicialmente derivamos em relação a y. Veja:

$\frac{\partial^2 (x^2y+cosy+ysenx)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial\frac{\partial(x^2y+cosy+ysenx) }{\partial y} }{\partial x}= \frac{\partial(x^2-sen(y)+sen(x)) }{\partial x}=2x+cos(x)$

Agora faremos na ordem inversa:

$\frac{\partial^2 (x^2y+cosy+ysenx)}{\partial y \partial x}=\frac{\partial\frac{\partial(x^2y+cosy+ysenx) }{\partial x} }{\partial y}= \frac{\partialy(2x+cosx) }{\partial y}=2x+cos(x)$

Tire as suas conclusões e note que não há a necessidade de se escrever derivadas parciais em todas passagens, poderíamos usar derivadas totais.

por Violeiro Sex 07 Jun 2013, 15:31

Olá Matheus Fillipe...

Cara muito bom sua explanação.

Então posso fazer também:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Obrigado pela ajuda...

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