Cônicas
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por darkct Qui 06 Jun 2013, 08:11
(IME-82/83) Dada a hipérbole 4x²-y²=32, determine uma reta paralela ao eixo dos y tal que seus pontos de interseção com a hipérbole formam com o foco F (de abscissa positiva) um
triângulo retângulo em F.
R:y=2x-6 e 3y+2x+2=0
triângulo retângulo em F.
R:y=2x-6 e 3y+2x+2=0
darkct- Iniciante
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Re: Cônicas
por Luck Qui 06 Jun 2013, 15:08
Acho que o gab está errado pois se a reta é paralela ao eixo y entao tem equação da forma x = t ..
4x² - y² = 32 ∴ x²/8 - y²/32 = 1
c² = a² + b² ∴ c² = 8 + 32 ∴ c = +-√40
seja r a reta, r: x = t
como r intercepta a hipérbole 4t² - y ² = 32 ∴ y = +-√(4t² - 32)
entao P1 (t ,√(4t² - 32) ) e P2 ( t , -√(4t² - 32) )
FP1 _|_ FP2, o produto escalar é nulo ( podia fazer tb mr.ms = -1)
FP1 = (t - c , √(4t² - 32) )
FP2 = (t-c , -√(4t² - 32) )
(t-c)² - (4t² - 32) = 0
t² -2tc + c² -4t² + 32 = 0
3t² + 2ct -(c²+32) = 0
3t² + 2√40t - 72 = 0
t = -2/3(√10 - 8 )
entao r: x = -2/3(√10 - 8 )
4x² - y² = 32 ∴ x²/8 - y²/32 = 1
c² = a² + b² ∴ c² = 8 + 32 ∴ c = +-√40
seja r a reta, r: x = t
como r intercepta a hipérbole 4t² - y ² = 32 ∴ y = +-√(4t² - 32)
entao P1 (t ,√(4t² - 32) ) e P2 ( t , -√(4t² - 32) )
FP1 _|_ FP2, o produto escalar é nulo ( podia fazer tb mr.ms = -1)
FP1 = (t - c , √(4t² - 32) )
FP2 = (t-c , -√(4t² - 32) )
(t-c)² - (4t² - 32) = 0
t² -2tc + c² -4t² + 32 = 0
3t² + 2ct -(c²+32) = 0
3t² + 2√40t - 72 = 0
t = -2/3(√10 - 8 )
entao r: x = -2/3(√10 - 8 )
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