Reta tangente! (derivada)

por viniciusmv7 Ter 21 maio 2013, 12:32

Em que pontos a reta tangente à curva y²=2x³ é perpendicular à reta 4x-3y+1=0 ?

por Matheus Fillipe Ter 21 maio 2013, 14:24

Transformemos os termos em meras funções de x:
y1=raiz(2x^3) y2=4x/3+1/3

Suas derivadas:

y1'=3x^2 / raiz(2x^3) y2'=4/3

como y2 é uma reta, y1 será perpendicular a ela quando sua derivada for -3/4, assim:

3x^2 / raix(2x^3) = -3/4

Elevando ambos lados a 2 temos:

3x^4=9/8 * x^3

cuja as soluções são x=0 e

3x=9/8* => x=9/24

me corrija caso algum engano

por **Euclides** Ter 21 maio 2013, 15:05

Coeficiente angular da tangente:

$\\y=\begin{cases} y_1=\sqrt{2x^3}\;\;,y\geq0\\y_2=-\sqrt{2x^3}\;\;,y<0\end{cases}\\\\\\y'_1=\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}\;\;\to\;\;y'_1=-\frac{3}{4}\;\to\;\nexists \;x\;\in\;R\\\\y'_2=-\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}} \;\to\;y'_2=-\frac{3}{4}\;\to\;x=\frac{1}{8}\;\;\to\;\;y=-\frac{1}{32}$

esse é o ponto em que uma perpendicular à reta dada é tangente à curva. A equação dessa perpendicular é

$\\y=-\frac{3x}{4}+b\;\;\to\;\;\left ( \frac{1}{8}\;,-\frac{1}{16} \right )\;\;\to\;\;\boxed{y=-\frac{3x}{4}+\frac{1}{32}}$

para encontrar o ponto procurado faça a intersecção dessa reta com a reta dada.

Visualização:

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