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Derivada, reta tangente

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Derivada, reta tangente Empty Derivada, reta tangente

Mensagem por Matheus010 Seg 19 Jul 2021, 17:48

Calcule a equação da reta tangente a lemniscata     4(x2 + y2)2 = 50(x2 − y2)    no ponto (3, 1).


obs.: sem Gabarito.

Matheus010
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Derivada, reta tangente Empty Re: Derivada, reta tangente

Mensagem por Skyandee Ter 20 Jul 2021, 21:01

Dá para sair por derivação implícita considerando y em função de x:

[latex]\\\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 2(x^2+y^2)^2 \right ) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 25(x^2-y^2) \right )\\\\\\2\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (x^2+y^2 \right )^2 = 25\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (x^2-y^2\right )\\\\\\2\cdot2\cdot(x^2+y^2)\cdot (2x+2y'y) = 25\cdot(2x-2y'y)\\\\\\4(x^2+y^2)(x+y'y)=25(x-y'y)\\\\\\4x^3+4x^2y'y+4xy^2+4y'y^3 = 25x-25y'y\\\\\\4x^2y'y+4y'y^3+25y'y = 25x-4x^3-4xy^2\\\\\\y'(4x^2y+4y^3+25y)=25x-4x^3-4xy^2\\\\\\y'=\frac{x(25-4x^2-4y^2)}{y(25+4x^2+4y^2)}[/latex]




O problema seria resolver uma EDO. Se alguém conseguir resolver ou tiver um outro caminho, ficaria agradecido.
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