Complexos - Número de soluções

Determine o número de soluções da equação z² + |z| = 0

R: (0; 0) ou (0; 1) ou (0; -1), portanto 3 soluções

z = a + bi

z² + |z| = 0 --> (a + b.i)² + \/(a² + b²) = 0 --> a² - b² + 2.a.b.i + \/(a² + b²) = 0

[a² - b² + \/(a² + b²)] + 2.a.b.i = 0

Para ser nulo, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser nulos:

2.a.b.i = -----> a = 0 ou b = 0

Para a = 0 ---->  0² - b² + \/(0² + b²) = 0 ----> b² = \/(b²) ----> (b²)² = b²

b².(b² - 1) = 0 ----> b = 0 ou b = 1 ou b = -1

Soluções: (0, 0), (0, 1), (0, -1)

Para b = 0 ---> a² + \/a² = 0 ---> a² = - \/a² ---> (a²)² = a² ---> a².(a² - 1) = 0

Para a = 0 ---> b = 0 ---> Solução já encontrada
Para a = 1 --> z = 1 --> |z| = 1 --> z² = 1 --> z² + |z| = 0 --> 1 + 1 = 0 -> Falso
Para a = -1 --> z = -1 --> |z| = 1 ---> z² = 1 ---> 1 + 1 = 0 ---> Falso

Só uma coisa, por que é (0, -1) e não (-1, 0), já que b= 0 e a = -1? Eu vejo como se fosse (a, b), por que a ordem aí é invertida?

Z=x + yi

a=x b=y , portanto , (a,b) .

(0,0) (0,1) (-1,0)....

Ou, ainda, outra solução utilizando a forma trigonométrica.

Resolução:

Denotando 'z' por z = |z|.cisθ (onde |z| é o módulo do complexo 'z' e θ é o seu argumento principal), tem-se, por 'De Moivre', z² = |z|².cis(2.θ) (isso é demonstrável facilmente fazendo z = |z|.e^(i.θ) => z^n = (|z|^n).e^(i.θ.n) <=>z^n = (|z|^n).cis(θ.n) ).

Substituindo a expressão obtida na equação:

|z|².cis(2.θ) + |z| = 0 <=> |z|.(|z|.cis(2.θ) + 1) = 0 =>
=> |z| = 0 ou |z|.cis(2.θ) = -1 = cis(pi) <=>
<=> z = 0 ou |z|.cis(2.θ) = cis(pi) ---> (*)

Já temos, pois, uma solução: z = 0.

Continuando, então, de (*), temos:
|z|.cis(2.θ) = cis(pi) <=> |z| = 1 e 2.θ = pi + 2.k.pi, k = {0,1} <=>
<=> |z| = 1 e θ = (pi/2) + k.(pi), k = {0,1}

Para k = 0:
z = cis(pi/2) = i

Para k = 1:
z = cis(pi/2 + pi) = cis(3.pi/2) = -i

Assim, as soluções são {0, i, -i}.

marcioamorim escreveu:Z=x + yi

a=x b=y , portanto , (a,b) .

(0,0) (0,1) (-1,0)....

Mas o gabarito não é esse, por isso a pergunta...

O gabarito está errado: o correto é o que você comentou (0, 0), (0, 1), (-1, 0)

Putz, muito obrigado Elcioschin

Elcioschin escreveu:z = a + bi

z² + |z| = 0 ----> (a + bi)² + \/(a² + b²) = 0 ---> a² - b² + 2abi + \/(a² + b²) = 0 ----> [a² - b²+ \/(a² + b²)] + 2abi = 0

Para ser nulo, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser nulos:

2abi = -----> a = 0 ou b = 0

1) Para a = 0 ---->  0² - b² + \/(0² + b²) = 0 ----> b² = \/(b²) ----> b² = b ----> b² - b = 0 ----> b.(b - 1) = 0 ----> b = 0 ou b = 1

1) Para b = 0 ---->  a² - 0² + \/(a² + 0²) = 0 ----> a² = - \/(a²) ----> a² = - a ----> a² + a = 0 ----> a.(a + 1) = 0 ----> a = 0 ou a = - 1

Soluções: (0, 0), (0, 1), (-1, 0)

b² = \/(b²) ---> b^4=b^2 ---> b^4-b^2=0 ---> b^2(b^2-1)=0 , logo para a=0 temos b=0 ou b=1 ou b=-1. logo o par ordenado (0,-1) também poderia ser solução para o problema?
PS: sei que o post é antigo, mas me vi tentando resolver o mesmo problema e notei esse possível erro.
Edit:Não apenas este. mas (-1,0) não seria solução já que: (-1)^2 - 0^2 + sqrt((-1)^2 + 0^2) = 1 + 1 =2 , não anulando a equação. O erro poderia estar em "a^2= - sqrt(a^2) --> a^2 = -a" ?

Atendendo sua sugestão editei minha solução original.
Por favor, dê uma lida nela e comente.
Obrigado pelos comentários.