Derivada

por Luciana Bittencourt Qua 08 maio 2013, 10:48

Calcule g ' (x), sendo $Derivada Gif$

Resposta:

Spoiler:

por **Giiovanna** Qua 08 maio 2013, 11:44

Vou fazer utilizando a definição. Depois, se quiser, você pode decorar a """regra""".

pela definição:

Sabemos que a função logarítmo é contínua. Então, há a possibilidade de que ela tenha derivada.

Seja x um valor que pertence ao domínio da função e 3 um valor fixado, devemos olhar
$Derivada Gif$

Teremos: (h = x-3)

$Derivada Gif.download?\lim_{x\to3}&space;\frac{g(x)&space;-&space;g(3)}{x-3}&space;=&space;\lim_{h\to0}&space;\frac{\log_3^{h+3}&space;-&space;log_3^3}{h}&space;=&space;\lim_{h\to0}&space;\frac{1}{h}&space;\log_3^{\frac{h+3}{3}}&space;=&space;\\&space;\\&space;\\&space;=&space;\lim_{h\to0}&space;\log{_3}^{(1+\frac{h}{3})^{\frac{1}{h}}}&space;=&space;\lim_{h\to3}\log_3&space;^&space;{)(1+\frac{h}{3})^{\frac{3}{h}})^{\frac{1}{3}}}&space;=&space;\lim_{x\to3}\frac{1}{3}.&space;\log_3&space;^{&space;\lim_{x\to3}&space;{(1+\frac{h}{3})^{\frac{3}{h}}}&space;}&space;\\&space;\\&space;=&space;\frac{1}{3}&space;\log_3&space;^e&space;=&space;\frac{1}{3$

Veja que o lim_{h -> 0} (1 + h/3) ^ 3/h é da forma (1 + u) ^ 1/u (que podemos demonstrar que é e

Talvez fique menos confuso se você fizer para uma base a qualquer.

A formula geral é 1/a. ln a

Se ficar com dúvidas, me avise.

por **Giiovanna** Qua 08 maio 2013, 11:48

Ah, você pode encontrar facilmente a deonstração pela definição na internet ou no livro do guidorizzi ela é feita da mesma forma Smile

por Luciana Bittencourt Qua 08 maio 2013, 12:05

Acho a resolução pela definição demorada em alguns casos...
Prefiro saber das duas formas, pela definição e pela "regra"...

Para essa questão eu dei uma olhada no livro do Guidorizzi e realmente mostra pela definição. É que meu professor deu um exemplo usando as "regras" e eu fiquei confusa numa parte:

$Derivada Gif$

$Derivada Gif$

Não deveria ser $Derivada Gif$ ?