Pirâmides
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Pirâmides
por jigsaw95 Seg 06 maio 2013, 17:49
O valor numérico de cada aresta de um cubo é 2 e os pontos P, Q e R são pontos médios de três arestas, como no desenho a seguir. Um plano passando pelos pontos P, Q e R secciona o cubo em dois sólidos. A razão entre o volume do sólido menor e o volume do cubo é:
a) 1/48 b) 1/32 c) 1/24 d) 1/16 e) 1/12
Eu resolvi utilizando o fato que o sólido menor é metade (correto ?) de um cubo de aresta 1 e achei 1/16 o resultado. O gabarito estaria errado?
a) 1/48 b) 1/32 c) 1/24 d) 1/16 e) 1/12
Eu resolvi utilizando o fato que o sólido menor é metade (correto ?) de um cubo de aresta 1 e achei 1/16 o resultado. O gabarito estaria errado?
jigsaw95- Padawan
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Re: Pirâmides
por Elcioschin Seg 06 maio 2013, 18:17
Aresta do cubo = 2 ----> Vc = 8
Seja V o vértice da pirâmide ----> PV = QV = RV = 1
PQ² = PV² + QV² ----> PQ² = 1² + 1² ----> PQ = \/2 ----> PR = QR = \/2
Seja O o pé da perpendicular baixada de V sobre PQR ( O é o centro de PQR) ---> h = OV = altura da pirâmide
Raio r do círculo inscrito em PQR ----> 2.(r.cos30º) = PQ ----> 2.r.(\/3/2) = \/2 ----> r = \/6/3
OV² = PV² - OP² ----> h² = 1² - (\/6/3)² ---> h² = 1 - 2/3 ----> h² = 1/3 ----> h = \/3/3
Volume da pirâmide ---> Vp = (1/3).S.h ----> Vp = (1/3).(PQ².\/3/4).(\/3/3) ----> Vp = 1/6
V = Vp/Vc ----> V = (1/6)/8 -----> Vp/Vc = 1/48
Seja V o vértice da pirâmide ----> PV = QV = RV = 1
PQ² = PV² + QV² ----> PQ² = 1² + 1² ----> PQ = \/2 ----> PR = QR = \/2
Seja O o pé da perpendicular baixada de V sobre PQR ( O é o centro de PQR) ---> h = OV = altura da pirâmide
Raio r do círculo inscrito em PQR ----> 2.(r.cos30º) = PQ ----> 2.r.(\/3/2) = \/2 ----> r = \/6/3
OV² = PV² - OP² ----> h² = 1² - (\/6/3)² ---> h² = 1 - 2/3 ----> h² = 1/3 ----> h = \/3/3
Volume da pirâmide ---> Vp = (1/3).S.h ----> Vp = (1/3).(PQ².\/3/4).(\/3/3) ----> Vp = 1/6
V = Vp/Vc ----> V = (1/6)/8 -----> Vp/Vc = 1/48
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Re: Pirâmides
por thiagobona Qua 16 Out 2013, 21:41
Elcioschin, não entendi o cálculo do volume da piramide. Essa piramide formada tem a base formada por um triangulo equilatero de base Raiz de 2, certo? Sua área seria o lado ao quadrado x Raiz de 3 : 4. Entretanto, não consegui enxergar essa area no seu cálculo do volume. Para ser mais específico, não entendi essa parte: "(PQ².\/3/4)". Poderia me ajudar?
Obrigado!
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Re: Pirâmides
por Elcioschin Qui 17 Out 2013, 00:04
A área de um triângulo equilátero de lado L vale: S = L².\/3/4
No triângulo desta questão L = PQ QR = RP ---> S = PQ².\/3/4
É a mesma coisa meu amigo
No triângulo desta questão L = PQ QR = RP ---> S = PQ².\/3/4
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Re: Pirâmides
por thiagobona Qui 17 Out 2013, 00:17
Obrigado. Estou com muita falta de atenção mesmo...Elcioschin escreveu:A área de um triângulo equilátero de lado L vale: S = L².\/3/4
No triângulo desta questão L = PQ QR = RP ---> S = PQ².\/3/4
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