Matrizes
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Matrizes
por Luciana Bittencourt Qui 11 Abr 2013, 12:01
Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A forem invertíveis, então ^{-1}=A^{-1}(I_n+BA^{-1})^{-1})
Luciana Bittencourt- Recebeu o sabre de luz
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Re: Matrizes
por Luck Qui 11 Abr 2013, 15:53
Se A é invertível , A.A^(-1) =A^(-1)A = I
Se (A+B) é invertível, (A+B)(A+B)^(-1) = (A+B)^(-1)(A+B) = I
(A+B)^(-1)(A+B) = I, * A^(-1) à direita:
(A+B)^(-1) ( I + BA^(-1) )= A^(-1) , * ( I + BA^(-1) )^(-1) à direita:
(A+B)^(-1) = A^(-1) ( I + BA^(-1) )^(-1) , c.q.d
Se (A+B) é invertível, (A+B)(A+B)^(-1) = (A+B)^(-1)(A+B) = I
(A+B)^(-1)(A+B) = I, * A^(-1) à direita:
(A+B)^(-1) ( I + BA^(-1) )= A^(-1) , * ( I + BA^(-1) )^(-1) à direita:
(A+B)^(-1) = A^(-1) ( I + BA^(-1) )^(-1) , c.q.d
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