Divisão simultânea de polinômios

Galera do fórum, estou estudando polinômios, agora acabei de chegar na parte de divisão simultânea mas não estou entendendo muito bem o que fazer, alguém podem e ajudar com esse exercício?

Determinar p e q de modo que o polinômio x^3-2px^2+(p+3)x+(2p+q) seja divisível simultaneamente por x e por (x-2).


R: p=7/3 ; q=-14/3

Para ser divisível por x, não pode ter termo idependente de x ----> 2p + q = 0 ----> I

Para ser divisísivel por (x - 2) basta aplicar Briott-Ruffini ou o método da chave

___| 1 ........ -2p ........... p + 3
... 2 | 1 .......2 - 2p ........ 7 - 3p

Resto ----> 7 - 3p = 0 -----> p = 7/3

I ----> 2.(7/3) + q = 0 ----> q = - 14/3

Oi Jéssica.

Basta dividir o polinômio por x e depois por x - 2. Em seguida, iguale os resultados a zero e construa o sistema.


Também é possível resolver usando o teorema do resto. Se o resto da divisão de um polinômio P por um binômio cuja raiz vale "a" é zero, então P(a) = 0.

O polinômio é divisível por x.
x = 0 é a raiz do polinômio P'(x) = x.

Substituindo em P(x) = x^3-2px^2+(p+3)x+(2p+q):

P(0) = 0
2p + q = 0 (Eq. 1)


O polinômio também é divisível por x - 2
Raiz: x - 2 = 0 ---> x = 2

P(2) = 0
8 - 8p + 2p + 6 + 2p + q = 0
-4p + q = -14 (Eq 2)


2p + q = 0
4p - q = 14

6p = 14
p = 7/3

q = -14/3

A resposta do Elcio foi muito mais objetiva, sobretudo por usar a propriedade do termo independente.

Olha como uma boa didática torna possível uma resposta sucinta.

Tenho muito que aprender para um dia me tornar professor :/

Obg a todos.
Mestre Elcioschin, entao sempre que eu tiver que dividir por x o termo independente nao pode ter x? E se for qualquer outro valor faço por briott-ruffini?

jessica

Uma pequena correção na sua frase:

Sempre que um polinômio é divisível por x, ele não pode ter termo independente

E sim, para qualquer outra raiz você pode aplicar:

a) O método da chave
b) O método (algoritmo) de Briott Ruffini
c) O método dos coeficientes a determinar ou Metodo de Descartes
c) O Teorema de D'Alembert (teorema do resto) muito bem aplicado pelo Leonardo. E, não confie no meu amigo Leonardo: o método que ele usou é tão sucinto como o meu, e até mais elegante!!!