Função Composta

por Cleyton Ter 12 Jan 2010, 10:21

Sejam f, e g funções de R em R definidas por f(x) = x²-1 e g(x) = 2x+1. Então a função composta f o g assume o menor valor em um ponto do intervalo:

a) ]-1,0[
b) ]0,1[
c) ]1/2,2[
d) ]-1,-1/2[

por **Jose Carlos** Ter 12 Jan 2010, 11:32

Olá,

temos:

f(x) = x² - 1
g(x) = 2x + 1

f o g = f [ g(x) ] = ( 2x + 1 )² - 1 = 4x² + 4x + 1 - 1 = 4x² + 4x

logo:

f o g -> é uma função do segundo grau e como o coeficiente do termo em x² é maior que zero então a função tem um valor mínimo.

4x² + 4x = 0 => x ( 4x + 4 ) = 0 =>

x = 0 ou 4x + 4 = 0 => x = - 1

assim, a função possui um valor mínimo no intervalo ] - 1, 0 [

Um abraço.

por Cleyton Ter 12 Jan 2010, 21:06

Olá, jóse Carlos, tudo bem?

Estou resolvendo da mesma forma que você, onde, f o g = 4x² + 4x

Só que pede o valor mínimo, e não para encontrar os zeros da função. Daí, estou partindo por descobrir X(vertice) e Y(vertice).

Xv= -1/2 e
Yv=-1

O valor mínimo, para mim, está relacionado ao valor de Yv.

Em sua resposta você colocou [-1,0], onde todos os intervalos das alternativas são abertos. Será que as alternativas estão escritas incorretamente?

Desde já agradeço sua ajuda!!!

por **Jose Carlos** Qua 13 Jan 2010, 11:13

Olá Cleyton,

Quanto ao intervalo dado como resposta vc está certo. Correto também está na determinação do valor mínimo que a função atinge ( yV ). Observe que a questão pede o "intervalo" no qual se situa a abscissa desse ponto ( xV ).
Agradeço por sua observação.

Um grande abraço.

por **aryleudo** Qua 13 Jan 2010, 21:13

Com licença, colega Clayton e mestre José Carlos!
Bem companheiro Clayton, na questão é dito

Então a função composta f o g assume o menor valor em um ponto do intervalo:

.
Portanto o mestre José Carlos está correto em suas colocações, pois os menores ou os maiores valores de uma função do 2° grau são os valores compreendidos entre os zeros da função.
E a explicação que encontro para o intervalo ser aberto é o fato de x₁ e x₂ serem os zeros da função por isso não são incluídos no intervalo.
Vão desculpando se pareci metido!
Tenham uma ótima noite,
Aryleudo.