Operações fundamentais

Sejam D e d números naturais tais que , o resto da divisão de D por d seja igual a 4 e o resto da divisão de 14*D por d seja 17 . Ache o resto da divisão de 210*D por d.

RESPOSTA: 21

Esqueça os quocientes, vou usar congruência.

D ≡ 4 (mód d) -> (congruência 1)
=> 14.D ≡ 56 (mód d)

Pelos dados do enunciado, tem-se que:

14.D ≡ 17 (mód d) => 56 ≡ 17 (mód d) =>
=> 39 ≡ 0 (mód d) ->( congruência 2)

Da (congruência 1), vem que:

210.D ≡ 840 (mód d)

Mas, da (congruência 2), tem-se que:
39 ≡ 0 (mód d) => 819 ≡ 0 (mód d) => 840 ≡ 21 (mód d) =>
=> 210.D ≡ 21 (mód d)

Conclusão: O resto obtido na divisão de 210.D por d é 21.

JOAO [ITA] não entendi como você chegou a isso ? 39 ≡ 0 (mód d) e também me embolei nesta parte , não entendi nada : 39 ≡ 0 (mód d) => 819 ≡ 0 (mód d) => 840 ≡ 21 (mód d) =>
=> 210.D ≡ 21 (mód d)

Mostrarei algumas propriedades simples da congruência e, logo em seguida, onde a propriedade foi aplicada .

.Propriedade: Se a ≡ b (mód m) e b ≡ c (mód m) => a ≡ c (mód m).

Usos nesse exercício:

1º uso: 14.D ≡ 56 (mód d) e 14.D ≡ 17 (mód d) => 56 ≡ 17 (mód d)

2º uso: 210.D ≡ 840 (mód d) e 840 ≡ 21 (mód d) =>
=> 210.D ≡ 21 (mód d)

.Propriedade: Se a ≡ b (mód m) => a.k ≡ b.k (mód m).

Usos nesse exercício:

1º uso: D ≡ 4 (mód d) => 14.D ≡ 56 (mód d)

2º uso: 39 ≡ 0 (mód d) => 819 ≡ 0 (mód d)
Obs: Multipliquei ambos os membros por 21.

.Propriedade: Se a ≡ b (mód m) => a ± k ≡ b ± k (mód m)

Usos nesse exercício:

1º uso: 56 ≡ 17 (mód d) => 39 ≡ 0 (mód d)
Obs: Subtrai 17 de ambos os membros.

2º uso: 819 ≡ 0 (mód d) => 840 ≡ 21 (mód d)
Obs: Somei 21 em ambos os membros.


Espero ter sido o mais didático possível.