Igualdade matricial

por **Pietro di Bernadone** Sex 15 Mar 2013, 22:11

Alguém sabe resolver a igualdade matricial abaixo? Por favor explique de forma bem detalhada.

Sejam $Igualdade matricial Gif$ , [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?B=%5Cleft%20[%20-cos%5C,%5Calpha%20%5Cright%20][/img] e $Igualdade matricial Gif$

O intervalo que contém um valor de $Igualdade matricial Gif$ em que a igualdade matricial Igualdade matricial 83a07f217ed265eb856194ea9eccb9fe

Igualdade matricial 83a07f217ed265eb856194ea9eccb9fe

Igualdade matricial 87f9241ed3c96b751dca1150b5510ed0

se verifica para um único $Igualdade matricial Gif$ é

a) Igualdade matricial 774411824fa2cb944c42de7b895bd2fe

b)

Igualdade matricial Debb5a8f98ee34645561ec423a7170c0

c)

Igualdade matricial F2ba559e48b632d38f7698fee118f067

d)

Igualdade matricial 4e3909e2f89233a9fb3e545b15185f7b

e)

Igualdade matricial Ddcb0a0c09fe42ed6f322108d43bc5c5

Gabarito: Alternativa a

por danjr5 Dom 17 Mar 2013, 16:41

Olá Pietro di Bernadone,
boa tarde!

Multipliquemos a transposta da matriz X pela matriz A:

$\\ \begin{pmatrix} x & 2\end{pmatrix}_{1 \times 2} \cdot \begin{pmatrix} \cos \alpha & \frac{\sin \alpha}{2} \\\\ \frac{\sin \alpha}{2} & 0 \end{pmatrix}_{2 \times 2} = \\\\\\ \boxed{\begin{bmatrix} (x \cdot \cos \alpha + \sin \alpha) & x \cdot \frac{\sin \alpha }{2}\end{bmatrix}_{1 \times 2}}$

Multipliquemos agora o resultado encontrado acima pela matriz X:

$\\ \begin{bmatrix} (x \cdot \cos \alpha + \sin \alpha) & x \cdot \frac{\sin \alpha }{2}\end{bmatrix}_{1 \times 2} \cdot \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}_{2 \times 1} = \\\\\\ \begin{bmatrix} (x \cdot \cos \alpha + \sin \alpha) \cdot x + x \cdot \frac{\sin \alpha }{2} \cdot 2 \end{bmatrix}_{1 \times 1} = \\\\\\ \boxed{\begin{pmatrix} x^2 \cdot \cos \alpha + x \cdot \sin \alpha + x \cdot \sin \alpha \end{pmatrix}_{1 \times 1}}$

Igualando a B, temos: uma eq. de grau dois, veja:

$\\ \begin{pmatrix} x^2 \cdot \cos \alpha + x \cdot \sin \alpha + x \cdot \sin \alpha \end{pmatrix}_{1 \times 1} = \begin{pmatrix} - \cos \alpha \end{pmatrix}_{1 \times 1} \\\\\\ \cos \alpha \cdot x^2 + (\sin \alpha + \sin \alpha ) \cdot x = - \cos \alpha \\\\ \boxed{\cos \alpha \cdot x^2 + 2 \cdot \sin \alpha \cdot x + \cos \alpha = 0}$

De acordo com o enunciado, x tem valor único, com isso, façamos $\boxed{\Delta = 0}$ .

Segue que:

$\\ \cos \alpha \cdot x^2 + 2 \cdot \sin \alpha \cdot x + \cos \alpha = 0 \\\\ \Delta = 4 \cdot \sin^2 \alpha - 4 \cdot \cos^2 \alpha \\\\ 4 \cdot \sin^2 \alpha - 4 \cdot \cos^2 \alpha = 0 \\\\ 4 \cdot \sin^2 \alpha = 4 \cdot \cos^2 \alpha \\\\ \boxed{\boxed{\sin \alpha = \cos \alpha }}$

Consegue concluir?

Até!

Daniel.

por **Pietro di Bernadone** Seg 18 Mar 2013, 15:16

Nossa, eu não achei que esse exercício era tão trabalhoso assim!

Bom, pensei no fato do ângulo de 45° possuir o mesmo valor para o seno e para o cosseno. Quanto a questão de "aberto" e "fechado" não consegui enxergar nada..

Por favor explique-me.

Obrigado,

Pietro

por **Pietro di Bernadone** Ter 19 Mar 2013, 22:19

Boa noite Danjr,

consegui visualizar também que

$Igualdade matricial Gif$

Por favor, ajude-me a concluir o exercício Very Happy

por danjr5 Ter 19 Mar 2013, 22:27

Pietro di Bernadone,
boa noite!
Desculpe a resposta tardia!

Já concluímos que $\boxed{\alpha = 45^o}$ , então, resta-nos encontrarmos, dentro das alternativas, o intervalo que contém $\alpha$ !

por Amanda01 Sex 15 maio 2015, 18:32

Por que a resposta não poderia ser letra b?

por **jango feet** Sex 15 maio 2015, 18:40

Na b) temos dois valores em que senx=cosx, o problema são os intervalos que não contém estes valores, perceba que estão abertos em $\pi/4$ e $3\pi/4$ . Logo não satisfazem a condição.