Polinômio do terceiro grau (questão da FGV)

Olá, galera do Pir2!
Como vão todos? Bem, espero...

Nesta semana, aconteceu algo muito louco na minha sala (estou num cursinho pré-vestibular). A gente está falando de polinômios, e estávamos resolvendo uma lista de exercícios de vestibular. Resolvemos um monte, e estava dando tudo certo, até que chegamos nessa questão da FGV. O professor já tinha resolvido a questão antes e disse que tinha uma forma de resolvê-la muito rápido (tipo, em três linhas), mas na hora ele não conseguiu lembrar! Aí a gente foi tentar resolver de algum jeito, nem que fosse da maneira longa... A gente encheu o quadro e apagou umas três vezes, e nada. Teve até uma hora em que o professor "desistiu", disse "Gente, eu não consigo fazer isso, não", sentou numa carteira e ficou olhando pro quadro, rsrsrs. Bom, no fim, ele e um menino ninja da minha sala conseguiram resolver. Mas além de a coisa ter ficado enorme, ninguém entendeu nada. Ficou todo mundo tipo "só sei que nada sei".

Mas como meu professor disse que tinha uma maneira muito fácil de resolver... Eu decidi postar aqui, para ver se alguém acha essa maneira, porque se depender de eu fazer aquilo que o meu professor fez... Enfim, lá vai a questão:

(FGV) Se m, n e p são raízes distintas da equação algébrica x³ -x² + x -2 = 0, então m³ + n³ + p³ é igual a:

a) -1
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5

(A resposta no gabarito é letra "d".)

E aí, alguém poderia jogar uma luz sobre esse problema? Por favor? x.x'
Eu até postaria a resolução do meu professor, mas não deu tempo de copiar tudo, bateu o sinal e o outro professor já foi apagando... Então, sinto muito, mas não vai dar. Qualquer coisa, eu pego com uma colega depois.

Desde já, muito obrigada!

P.S.: Desculpem-me se eu tiver postado a questão no lugar errado... Eu nunca sei direito onde postar as coisas aqui. Sintam-se à vontade para mover o tópico, se quiserem.

A ideia pra matar a questão rapidamente é girard e a fatoração clássica:
a³ + b³ + c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)
Sendo a,b e c as raízes, por girard temos :
a+ b + c = 1
ab + ac + bc = 1
abc = 2
a² + b² + c² = (a+b+c)² - 2(ab + ac + bc)
a² + b² + c² = 1 - 2.1 = -1
substituindo:
a³ + b³ + c³ -3.2 = 1 ( -1 -1 )
a³ + b³ + c³ = -2 + 6
a³ + b³ + c³ = 4

método suicida: tentar achar as raízes pra substituir..

"Método suicida", kkkkkkkkkkkkk!
Meu professor fez pior do que tentar achar as raízes, acredite...

Obrigada, eu acho que entendi o que você fez. Na verdade, eu preciso dar uma relembrada em Girard (ok, honestamente, não lembro nada -q), mas isso é o de menos. Obrigada mesmo por explicar! Vou levar a sua resposta para o meu professor, só pra ele passar raiva. Kkkkkkk

Ou, ainda, por él Teorema de Girard (demonstrado nesse link:
https://pir2.forumeiros.com/t36620-teorema-de-girard-demonstracao)

1)Achar a derivada de P(x) com relação a 'x':
d(P(x))/dx = 3.x² - 2.x + 1

2)Fazer a divisão P'(x)/P(x):

3.x² - 2.x + 1 | x³ - x² + x -2

-3.x²+3.x - 3 + 6/x | 3/x + 1/x² - 1/x³ + 4/x^4 +...
_______________
x - 2 + 6/x
-x + 1 - 1/x + 2/x²
_______________
-1 + 5/x + 2/x²
+1 - 1/x + 1/x² - 2/x³
_______________
4/x + 3/x² - 2/x³
...

Assim: m³ + n³ + p³ = 4

Iih, João, esse Teorema aí, eu vou ter que estudar direitinho com calma, depois. Mas me interessou muito. Parece simplificar muito a resolução de umas outras questões que tenho aqui. Obrigada! Quando estiver com mais tempo, vou estudar direitinho.

AndressaA escreveu:"Método suicida", kkkkkkkkkkkkk!
Meu professor fez pior do que tentar achar as raízes, acredite...

Obrigada, eu acho que entendi o que você fez. Na verdade, eu preciso dar uma relembrada em Girard (ok, honestamente, não lembro nada -q), mas isso é o de menos. Obrigada mesmo por explicar! Vou levar a sua resposta para o meu professor, só pra ele passar raiva. Kkkkkkk

rsrs, nada. Dê uma olhada em girard sim, que é simples e resolve a maioria desses tipos de exerc. relacionados à raízes sem precisar calcular a equação.. Outra solução que também nao seria muito trabalhosa mas é um conceito pouco conhecido,seria usando polinômios simétricos (só se nao lembrasse da fatoração clássica).

PS: interessante essa solução Joao.

É verdade, esse teorema facilita muito o processo de achar as somas de Newton (não precisa fazer nenhuma manipulação algébrica).
Aliás, as Relações de Girard devem ser, na verdade, creditadas à Newton (pois foi ele quem as estudou).
O verdadeiro Teorema de Girard é esse que eu usei (demonstrado pela primeira vez pelo próprio Girard).
Só curiosidades...

Enfim, bons estudos. :study: