relação entre áreas

As bases de um trapézio isósceles ABCD são tais que CD=2AB. Sabendo que a área do trapézio é representada por S e que M e P são os pontos médios da base CD e do lado oblíquo BC, respectivamente, calcular em função de S, a área do triângulo DIM, sendo I o ponto de interseção dos segmentos DP e BM.


Resp . S/9

Resolução por geometria euclidiana.

att

Consegui resolver por Geometria Analítica

Valeu mestre Elcio , agradeço se postar , estou tentando por geo euclidiana.

Seja AB = a ----> CD = 2a
Seja H o pé da perpendicular de B sobre CD ----> h = BH
Seja L o lado obíquo ----> L = DC = AD
Seja Q o pé da perpendicular de P sobre CD

Unindo B a M tem´se BM = BC -----> BMM é isósceles

CQ = a/4 ----> BQ = CD - CQ ----> BQ = 2a - a/4 ----> BQ = 7a/4


Área do trapézio -----> S = (AB + CD)*h/2 ----> S = (a + 2a)*h/2 -----> S = 3ah/2 ----> I

SEja um sistema xOy com D na origem e cD no eixo X

M(a, 0), P(7a/4, h/2), B(3a/2, h)

Reta BM ---->coeficiente angular ----> m = BH/MH ----> m = h/(a/2) ----> m = 2h/a

Equação de BM ---> y - yM = m*(x - xM ----> y - 0 = (2h/a)*(x - a) ----> y = (2h/a)x - 2h -----> II

Reta DP ----> coeficiente angular ----> m' = PQ/DP ----> m' = (h/2)/(7a/4) ----> m' = (2h/7a)x

Ponto I de interseção ----> (2h/7a)xI = (2h/a)xI - 2h ----> *7a ----> 2h.xI =14h.xI - 14ah ----> xI = 7a/6

yI = (2h/7a).x ----> yI = (2h/7a).(7a/6) -----> yI = h/3

Área do triângulo DIM ----> s = DM*yI/2 -----> s = a*(h/3)/2 ----> s = ah/6

s/S = (ah/6)/(3ah/2) -----> s/S = 1/9 ----> s = S/9

Valeu mestre Elcio ,obrigado. Aos poucos vou relembrando analítica. Estou tentando por relação de áreas equivalentes.

Outro modo


Como M é ponto médio, ABMD é um paralelogramo.
Traçando a diagonal BD temos o triângulo DBC .
Como M e P são são pés das medianas DP e BM, essas medianas determinam o baricentro do triângulo DBC que fica dividido em 6 triângulos de áreas iguais.

Área do trapézio 9a e a área do triângulo DIM= a.
S - Área de ABCD
S - Àrea de DIM
s/S=1/9
att