Bijeção - Demonstre

por **ramonss** Sáb 23 Fev 2013, 12:03

Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (com s > 0) do seguinte modo :

$f(x)=\frac{2x-s}{x(s-x)}$

é uma função bijetora desse intervalo nos reais..

A resolução está em spoiler. Não entendi a lógica da parte em vermelho.

Spoiler:

Obrigado

por **ramonss** Sáb 23 Fev 2013, 15:10

por Luck Sáb 23 Fev 2013, 16:22

Ramons , foi erro de digitação ali ne? O certo seria yx² + (2-ys)x - s = 0..
no final o que ele usou é a definição de sobrejetora , se existe x no intervalo dado tal que f(x) = y a função é sobrejetora , o que foi provado no final. Para provar que é injetora faça f(x1)=f(x2) e conclua que x1 = x2..

por **ramonss** Sáb 23 Fev 2013, 19:54

Luck, ainda não me está claro.

Olha o que eu entendi até agora:

Ele concluiu que existe um x, tal que 0 < x < s, que satisfaz isso:

yx² + (2-ys)x - s = 0

Tá, mas por que isso prova que é sobrejetora??

Valeu!

por Luck Sáb 23 Fev 2013, 20:44

ramonss escreveu:Luck, ainda não me está claro.

Olha o que eu entendi até agora:

Ele concluiu que existe um x, tal que 0 < x < s, que satisfaz isso:

yx² + (2-ys)x - s = 0

Tá, mas por que isso prova que é sobrejetora??

Valeu!

encontrei um caminho mais fácil:
yx² + (2-ys)x - s
∆ = (2-ys)² - 4.y.(-s)
∆ = 4 - 4ys + y²s² + 4ys
∆ = 4 + (ys)² que é sempre maior que 0

Entao dado qualquer y ∈ ℝ, existe x , que é igual a [(ys-2) +- √(4 +y²s²)] / 2y, para o qual f(x) = y , logo f é sobrejetora. O que acha?

por **ramonss** Sáb 23 Fev 2013, 21:11

Acho que essa não serve, afinal não tem relação com o "0 < x < s" e, sei lá, ficou estranho esse "+-".

Isso de provar que f é sobrejetora eu não estou entendendo MESMO. Tem até um outro exercício que não entendi:

"Se g(f(x)) é sobrejetora, prove que g é sobrejetora."
Resolução: Dado um y e, IR, existe um x em IR tal que y = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x'), em que f(x) = x'. Então g é sobrejetora.

Não entendi nenhum desses dois exercícios.

por Luck Sáb 23 Fev 2013, 21:41

ramonss escreveu:Acho que essa não serve, afinal não tem relação com o "0 < x < s" e, sei lá, ficou estranho esse "+-".

Isso de provar que f é sobrejetora eu não estou entendendo MESMO. Tem até um outro exercício que não entendi:

"Se g(f(x)) é sobrejetora, prove que g é sobrejetora."
Resolução: Dado um y e, IR, existe um x em IR tal que y = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x'), em que f(x) = x'. Então g é sobrejetora.

Não entendi nenhum desses dois exercícios.

O +- nao invalida a solução , a gente ta provando primeiro sobrejeção, o +- so indica que poderia ter dois valores de x para um y, estaria errado ao provar que é injetora, mas como separamos em dois casos ( provar que é sobrejetora e depois provar que é injetora) acho que esta certo. Quanto à outra questao crie outro tópico.. O que eu aprendi com a maioria dos exercícios de provar que é sobrejetora são só esses dois passos: achar x em função de y ; verificar restrições de x , comparando com os possíveis valores do domínio.

por Arlindocampos07 Qua 25 maio 2022, 16:35

Sei que o tópico é antigo, mas esse é um ponto que está impedindo meu avanço em funções e gostaria que alguém pudesse me ajudar a montar um raciocínio, tal que eu conseguisse resolver outras questões como essa.

Simplesmente não consigo entender a ideia que leva a esse desenvolvimento proposto pelo livro para resolver a questão:

por **tales amaral** Qua 25 maio 2022, 17:18

Arlindocampos07 escreveu:Sei que o tópico é antigo, mas esse é um ponto que está impedindo meu avanço em funções e gostaria que alguém pudesse me ajudar a montar um raciocínio, tal que eu conseguisse resolver outras questões como essa.

Simplesmente não consigo entender a ideia que leva a esse desenvolvimento proposto pelo livro para resolver a questão:

Creio que o jeito mais fácil é o do Luck. Só faltou demonstrar que x tá no domínio (dá pra fazer usando relações de girard). Assume um y dentro do contradomínio e demonstre que existe um x no domínio que "aponta" pra ele.

Quanto a resolução do livro: parece que ele usa o seguinte teorema "Seja [latex]f(x)[/latex] uma função contínua no intervalo [a,b]. Se [latex]f(a)\cdot f(b) < 0[/latex], então existe pelo menos um ponto [latex]x = k[/latex] entre a e b que é zero de f(x)". O nome é Teorema de Bolzano.