Bijeção - Demonstre

por **ramonss** 23/2/2013, 12:03 pm

Relembrando a primeira mensagem :

Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (com s > 0) do seguinte modo :

$f(x)=\frac{2x-s}{x(s-x)}$

é uma função bijetora desse intervalo nos reais..

A resolução está em spoiler. Não entendi a lógica da parte em vermelho.

Spoiler:

Obrigado

por BertrandRusselPardo@1309 21/8/2024, 2:01 pm

tales amaral escreveu:
Arlindocampos07 escreveu:Sei que o tópico é antigo, mas esse é um ponto que está impedindo meu avanço em funções e gostaria que alguém pudesse me ajudar a montar um raciocínio, tal que eu conseguisse resolver outras questões como essa.

Simplesmente não consigo entender a ideia que leva a esse desenvolvimento proposto pelo livro para resolver a questão:

Creio que o jeito mais fácil é o do Luck. Só faltou demonstrar que x tá no domínio (dá pra fazer usando relações de girard). Assume um y dentro do contradomínio e demonstre que existe um x no domínio que "aponta" pra ele.

Quanto a resolução do livro: parece que ele usa o seguinte teorema "Seja [latex]f(x)[/latex] uma função contínua no intervalo [a,b]. Se [latex]f(a)\cdot f(b) < 0[/latex], então existe pelo menos um ponto [latex]x = k[/latex] entre a e b que é zero de f(x)". O nome é Teorema de Bolzano.

Perdoe a ignorância, mas não consigo visualizar o teorema de Bolzano na resolução do Iezzi. Inclusive, algumas outras resolução utilizam um teorema apresentado e demonstrado no FME, do qual a questão veio, mas não consigo visualizá-lo também. Agradeceria se explicasse

por **Emanuel Dias** 21/8/2024, 2:57 pm

BertrandRusselPardo@1309 escreveu:
tales amaral escreveu:
Arlindocampos07 escreveu:Sei que o tópico é antigo, mas esse é um ponto que está impedindo meu avanço em funções e gostaria que alguém pudesse me ajudar a montar um raciocínio, tal que eu conseguisse resolver outras questões como essa.

Simplesmente não consigo entender a ideia que leva a esse desenvolvimento proposto pelo livro para resolver a questão:

Creio que o jeito mais fácil é o do Luck. Só faltou demonstrar que x tá no domínio (dá pra fazer usando relações de girard). Assume um y dentro do contradomínio e demonstre que existe um x no domínio que "aponta" pra ele.

Quanto a resolução do livro: parece que ele usa o seguinte teorema "Seja [latex]f(x)[/latex] uma função contínua no intervalo [a,b]. Se [latex]f(a)\cdot f(b) < 0[/latex], então existe pelo menos um ponto [latex]x = k[/latex] entre a e b que é zero de f(x)". O nome é Teorema de Bolzano.

Perdoe a ignorância, mas não consigo visualizar o teorema de Bolzano na resolução do Iezzi. Inclusive, algumas outras resolução utilizam um teorema apresentado e demonstrado no FME, do qual a questão veio, mas não consigo visualizá-lo também. Agradeceria se explicasse

A sua dúvida é sobre o que é o teorema ou como utilizar ele em problemas?

por BertrandRusselPardo@1309 22/8/2024, 3:06 am

Emanuel Dias escreveu:
BertrandRusselPardo@1309 escreveu:
tales amaral escreveu:
Arlindocampos07 escreveu:Sei que o tópico é antigo, mas esse é um ponto que está impedindo meu avanço em funções e gostaria que alguém pudesse me ajudar a montar um raciocínio, tal que eu conseguisse resolver outras questões como essa.

Simplesmente não consigo entender a ideia que leva a esse desenvolvimento proposto pelo livro para resolver a questão:

Creio que o jeito mais fácil é o do Luck. Só faltou demonstrar que x tá no domínio (dá pra fazer usando relações de girard). Assume um y dentro do contradomínio e demonstre que existe um x no domínio que "aponta" pra ele.

Quanto a resolução do livro: parece que ele usa o seguinte teorema "Seja [latex]f(x)[/latex] uma função contínua no intervalo [a,b]. Se [latex]f(a)\cdot f(b) < 0[/latex], então existe pelo menos um ponto [latex]x = k[/latex] entre a e b que é zero de f(x)". O nome é Teorema de Bolzano.

Perdoe a ignorância, mas não consigo visualizar o teorema de Bolzano na resolução do Iezzi. Inclusive, algumas outras resolução utilizam um teorema apresentado e demonstrado no FME, do qual a questão veio, mas não consigo visualizá-lo também. Agradeceria se explicasse

A sua dúvida é sobre o que é o teorema ou como utilizar ele em problemas?

Olá, Emanuel. Quanto à minha dúvida, eu não consigo visualizar como utilizar ambos os teoremas neste problema. Entretanto, eu sei seus significados - principalmente o corolário do de Bolzano - e já os apliquei para resolver outros problemas, porém neste em específico eu não consigo visualizar uma aplicação deles :/

por BertrandRusselPardo@1309 22/8/2024, 3:10 am

Talvez não tenha entendido direito o(s) teorema(s), mas ao meu ver, o produto do coeficiente da função quadratica por f(α) fiz respeito à posição de alfa em relação às raízes, neste caso, se y*f(α)<0 implica que x está intra-raízes, mas como, se for o caso de isso verificar, isso prova a sobrejeção?

Utilizar o de Bolzano parece-me mais plausível, pois f(a)*f(b)<0 implica que há apenas uma raíze no intervalo [a,b] da função, o que neste caso provaria a sobrejeção (!). Porém, o que foi feito na resolução foi o seguinte: o Iezzi utilizou o teorema que mostrei no segundo parágrafo nas multiplicações y*g(0)=ys e y*g(s)=y(-s) - o algebrismo para chegar a este produto eu não entendi também, k - e a partir disso conclui que há apenas um zero da função no domínio ]0,s[ (????), e esta etapa eu não entendi de jeito nenhum.

Além do mais, a resolução também depende do valor do coeficiente y, do apenas sabemos que não pode ser zero, mas pode ser maior ou igual a zero.

Espero que eu tenha esclarecido minhas dúvidas, boa noite/tarde/manhã e agradeço se me responder.

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