Projeção de um lado em um Triângulo

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Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por Matheus Vilaça em Ter Fev 05 2013, 17:40

A QUESTÃO É A SEGUINTE:

O perímetro de um triângulo é igual a 32 cm e os lados são proporcionais aos números 2, 9/4 e 15/4. Calcular a projeção do maior lado sobre o menor.

Não tenho o gabarito.
............................................................................................................................................................................
MINHA RESOLUÇÃO
A princípio eu encontrei o valor dos lados:

Logo:
a=8
b=9
c=15


Então temos a seguinte situação:




Pela teoria:
"Em um triângulo qualquer o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o duplo produto de um desses dois pela projeção do outro sobre ele."

Assim nesse caso teríamos:




Eu achei estranho, pois m deveria ser menor que 8, já que m+n=8 . Então, como eu havia errado resolvi buscar um caminho alternativo. Sendo que esse caminho foi:

Pelo teorema de Herão:
Área:


Mas sabemos que:
A=(bh)/2

Logo:


Por Pitágoras:


Após isso eu desisti, pois como pode ter dado o mesmo resultado se este está errado?
............................................................................................................................................................................

Alguém poderia me ajudar a achar a resposta correta?
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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por Elcioschin em Ter Fev 05 2013, 17:56

Matheus: Sua resposta está correta
O seu desenho está errado: o lado maior (c = 15) é o de baixo, o meno (a = 8 ) é o esquerdo e o direito é b = 9

Não vou usar o seu teorema

Leis dos cossenos no desenho correto

b² = a² + c² - 2ac.cosB ----> 9² = 8² - 15² - 2.8.15.cosB ----> cosB = 13/15

Projeção do lado maior (c = 15) sobre o menor (a = 8 ) ----> p = c.cosB ----> p = 15.(13/15) ----> p = 13

A explicação para a projeção p ser maior do que o lado a onde c foi projetado é que o triângulo é obtusângulo no vértice C. Neste caso a projeção do ponto A cai sobre o prolongamento de AC
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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Ter Fev 05 2013, 18:07



Matheus não seria essa a figura?
Trabalhando(Pitágoras) com os dois triângulos retângulos encontraremos x.
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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por Matheus Vilaça em Ter Fev 05 2013, 18:20

Acho que compreendi.
O desenho seria basicamente esse, não é?
[img] [/img]

Então, a projeção do ponto A seria no "prolongamento" do seguimento CB, não é?
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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por Matheus Vilaça em Ter Fev 05 2013, 18:23

Opa! Eu não tinha visto que você tinha colocado seu desenho Raimundo!
É que eu sou meio lento em fazer esses desenhos.Valeu!!! Very Happy


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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por Elcioschin em Ter Fev 05 2013, 18:44

No desenho do Raimundo deve-se substituir 13 por 15
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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Ter Fev 05 2013, 19:01

Desculpe-me foi a fome, era hora do"rango" hahaha
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Re: Projeção de um lado em um Triângulo

Mensagem por Elcioschin em Ter Fev 05 2013, 21:49

Assim vais engordar muito, Raimundo (ahahahah)
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