Projeção de um lado em um Triângulo

por **Matheus Vilaça** Ter 05 Fev 2013, 18:40

A QUESTÃO É A SEGUINTE:

O perímetro de um triângulo é igual a 32 cm e os lados são proporcionais aos números 2, 9/4 e 15/4. Calcular a projeção do maior lado sobre o menor.

Não tenho o gabarito.
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MINHA RESOLUÇÃO

A princípio eu encontrei o valor dos lados:
$\small 2x+\frac{9x}{4}+\frac{15x}{4}=32\, \, \, \Rightarrow \, \, \, x=4$
Logo:
a=8
b=9
c=15

Então temos a seguinte situação:
Projeção de um lado em um Triângulo Dvida

Projeção de um lado em um Triângulo Dvida

Pela teoria:
"Em um triângulo qualquer o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o duplo produto de um desses dois pela projeção do outro sobre ele."

Assim nesse caso teríamos:
$\small b^2=a^2+c^2-2.a.m$

$\small m=\frac{64+225-81}{16}\, \, \, \Rightarrow \, \, \, {\color{Red} m=13cm}$

Eu achei estranho, pois m deveria ser menor que 8, já que m+n=8 . Então, como eu havia errado resolvi buscar um caminho alternativo. Sendo que esse caminho foi:

Pelo teorema de Herão:
Área:
$\small A=\sqrt{16(16-8 )(16-9)(16-15)}\, \, \, \Rightarrow \, \, \, A=\sqrt{896}$

Mas sabemos que:
A=(bh)/2

Logo:
$\small h=\frac{\sqrt{896}.2}{8}\, \, \, \Rightarrow \, \, \, h=\frac{\sqrt{896}}{4}$

Por Pitágoras:
$\small m^2=15^2-(\frac{\sqrt{896}}{4})^2\, \, \, \Rightarrow \, \, \, {\color{Red} m=13cm}$

Após isso eu desisti, pois como pode ter dado o mesmo resultado se este está errado?
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Alguém poderia me ajudar a achar a resposta correta?

por **Elcioschin** Ter 05 Fev 2013, 18:56

Matheus: Sua resposta está correta
O seu desenho está errado: o lado maior (c = 15) é o de baixo, o meno (a = 8 ) é o esquerdo e o direito é b = 9

Não vou usar o seu teorema

Leis dos cossenos no desenho correto

b² = a² + c² - 2ac.cosB ----> 9² = 8² - 15² - 2.8.15.cosB ----> cosB = 13/15

Projeção do lado maior (c = 15) sobre o menor (a = 8 ) ----> p = c.cosB ----> p = 15.(13/15) ----> p = 13

A explicação para a projeção p ser maior do que o lado a onde c foi projetado é que o triângulo é obtusângulo no vértice C. Neste caso a projeção do ponto A cai sobre o prolongamento de AC