Compras de refrigerantes

De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em um bar que possui 4 tipos diferentes?

Arranjo5,4
5*4*3*2 = 120 modos diferentes

Hola Luck.

Esse não é o procedimento correto.

De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em um bar que possui 4 tipos diferentes?

ABCD são os 4 tipos de refrigerantes
Logo, todos iguais: AAAAA, BBBBB, CCCCC, DDDDD --> 4
4 iguais e um diferente: AAAAB, AAAAC, AAAAD, BBBBA, BBBBC, BBBBD, CCCCA, CCCCB, CCCCD, DDDDA, DDDDB, DDDDC --> 4.C3,1 = 4.3 = 12
3 iguais e 2 diferentes: AAABC, AAABD, AAACD, BBBAC, BBBAD, BBBCD, CCCAB, CCCAD, CCCBD, DDDAB, DDDAC, DDDBC --> 4.C3,2 = 4.3 = 12
3 iguais e outros 2 iguais: AAABB, AAACC, AAADD, BBBAA, BBBCC, BBBDD, CCCAA, CCCBB, CCCDD, DDDAA, DDDBB, DDDCC --> 4.3 = 12
2 iguais e 3 diferentes: AABCD, BBACD, CCABD, DDABC --> 4.1 = 4
2 iguais, outros 2 iguais: AABBC, AABBD, AACCB, AACCD, AADDB, AADDC, BBCCA, BBCCD, BBDDA, BBDDC, CCDDA --> 11

4 + 3.12 + 4 + 11 = 55

Hola Soudapaz.

Dessa forma que fazes esse exercício sempre esqueces de contar alguma combinação. E olha que não é a primeira fez que vc erra esse tipo de exrcício. Vou colocar um exemplo menor para que vc faça a comparação e notes onde vc furou.

De quantos modos podemos comprar 3 refrigerantes em um bar que possui 2 tipos diferentes?

seja x1 o número de refrigerantes do tipo A
seja x2 o número de refrigerantes do tipo B, fazendo no braço:

AAA
BBB
ABB
BBA, há portanto 4 modos. Quando as combinações são pequenas vc não corre o risco de se esquecer de alguma delas.

Como chegar nesse resultado? Temos:

x1 + x2 = 3, vamos usar pau e bola para resolver, veja:

dividindo 3 em 2 partes, temos:

O I O O ou
O O O I, note que temos 4 símbolos, sendo 3 bolas (O) e 1 pau (I), logo:

P = 4!/3!1!
P = 4, não sei se me fiz entender.

Olá, Robalo.

O número de maneiras de comprar esses refrigentes é encontrar o número de soluções inteiras não negativas.

adriano tavares escreveu:Olá, Robalo.

O número de maneiras de comprar esses refrigentes é encontrar o número de soluções inteiras não negativas.

Olá, prove que são 56!

Adriano Tavares, venho engrossar o coro com o colega Sou da Paz. Estou pedindo isso porque ainda não consegui assimilar a sua solução apresentada!
Forte abraço e ótimo Natal e própero Ano Novo para você e todos os familiares,
Aryleudo.

Olá,soudapaz.

Vou tentar responder a sua pergunta com exemplo.

Considere o seguinte exemplo:

Quantas soluções inteiras positivas possui a equação x_1+x_2+x_3=10

Vamos utilizar um artifício de escrever dez vezes o algarismo um como abaixo:

1 /1 1 1 1 1 / 1 1 1 1

Podemos observar que entre os algarismos existem 9 espaços que podem ser separadamente por barras verticais para representar soluções inteiras, por exemplo:

1 1 1 / 1 1 1 / 1 1 1 1

que representa a solução (1, 5 ,4)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

representa a solução (3 ,3 , 4)

Então, o número de soluções inteiras é o número de se escolher duas posições dos nove espaços para se colocar as duas barras é a combinação de nove elementos tomados dois a dois.

Considere agora o exemplo abaixo:

Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação x_1+x_2+x_3=10

Temos várias possibilidades, por exemplo:

(2,0,8, (4,6,0), (0,1,9), (3,7,0) que são soluções inteiras não negativas.

Perceba o seguinte:

Se somarmos 1 a todas as soluções inteiras e não negativas, teremos por exemplo:

(2,0,8 --> (3,1,9)
(4,6,0)--> (5,7,1)
(0,1,9)--> (1,2,10)
(3,7,0) --> (4,8,1)

Dessa maneira tem-se que, para cada solução inteira negativa da solução x_1+x_2+x_3=10

corresponde uma solução inteira positiva da equação y_1+y_2+y_3=13

e vice e versa, que é combinação de 12 elementos tomados dois a dois.Resolvendo encontraremos 66 soluções inteiras não negativas de x_1+x_2+x_3=10

Utilizando esse raciocínio pode-se verificar que, se tivermos por exemplo:

x_1+x_2+x_3+.....x_n=n

As soluções inteiras não negativas será dada pela fórmula da combinação utilizada na resolução do exercício.

Um abraço!!!

Hola soudapaz.

O Adriano não precisa provar nada, pois o autor da mensagem sou eu. Quantos ao nosso amigo de Limoeiro do Norte, só espero que ele entenda essa explicação.

Seja as marcas de refrigerantes designadas por: A, B, 3, 4.

Com 5 marcas iguais:
AAAAA
BBBBB
33333
44444, = = > temos 4 formas de comprar os refrigerantes.

Com 4 marcas iguais e 1 marca diferente:
AAAAB
AAAA3
AAAA4
BBBBA
BBBB3
BBBB4
3333A
3333B
33334
4444A
4444B
44443, = = > temos 12 formas de comprar os refrigerantes

Com 3 marcas iguais e outras 2 marcas também iguais:
AAABB
AAA33
AAA44
BBBAA
BBB33
BBB44
333AA
333BB
33344
444AA
444BB
444433, = = > temos 12 formas de comprar os refrigerantes

Com 3 marcas iguais e 2 marcas diferentes:
AAAB3
AAAB4
AAA34
BBBA3
BBBA4
BBB34
333AB
333A4
333B4
444AB
444A3
444B3, = = > temos 12 formas de comprar os refrigerantes.

Com 2 marcas iguais mais e mais 2 marcas iguais e 1 marca diferente:
AABB3
AABB4
AA33B
AA334
AA44B
AA443
BB33A
BB334
BB44A
BB443
3344A
3344B, = = > temos 12 formas de comprar os refrigerantes.

Com 2 marcas iguais e 3 marcas diferentes:
AAB34
BBA34
33AB4
44AB3, = = > temos 4 formas de comprar os refrigerantes.

Total geral: 4 + 12 + 12 + 12 + 12 + 4 = 56

Caro Soudapaz espero que vc se divirta contando todas as forma possíveis de se fazer essa compra. Boa contagem, e veja onde vc se enganou.