(IFCE - 2009) Momento Angular e Linear

por **aryleudo** Dom 03 Fev 2013, 15:36

Plutão descreve uma órbita elíptica em torno do sol. Considerando as posições de afélio (ponto mais distante do sol) e periélio (ponto mais próximo do sol), responda e justifique se:
A) o momento angular em relação ao sol,
B) o momento linear, e
C) a energia mecânica, possuem valor maior ou menor no afélio ou no periélio, ou se é indiferente.

P.S.: Não tenho gabarito!

por **Euclides** Dom 03 Fev 2013, 16:15

Oi aryleudo,

o momento angular do planeta se conserva e é igual em qualquer ponto da órbita. Isso é uma decorrência da lei de Kepler das áreas.

Considere as posições no afélio (mais afastado) e no periélio. Em cada posição há uma área varrida, um raio de órbita e uma distância percorrida. Consideremos áreas tão pequenas que as possamos imaginar triangulares:

$A_1=\frac{r_1d_1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A_2=\frac{r_2d_2}{2}$

as velocidades nesse pequeno intervalo de tempo são

$v_1=\frac{d_1}{t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_2=\frac{d_2}{t}$

substituindo nas áreas e igualando

$\\\frac{1}{2}r_1v_1t=\frac{1}{2}r_2v_2t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r_1v_1=r_2v_2\\\\v=\omega r\;\;\;\to\;\;\;r_1^2\omega=r_2^2\omega_2\;\;\;\to\;\;\;mr_1^2\omega_1=mr_2^2\omega_2\\\\L_1=L_2$

quanto ao momento linear, aproveitando uma relação já encontrada

$\\\;r_1v_1=r_2v_2\\\\mv_1r_1=mv_2r_2\;\;\to\;\;mv_1=\frac{r_2}{r_1}mv_2$

A energia mecânica deve se conservar.

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