Raízes da equação

por **raimundo pereira** Qua 30 Jan 2013, 22:50

Resolva em ℝ, se possível a equação x³ - 3x² - 3x - 9 = 0
Sem gab.

por **Leonardo Sueiro** Qua 30 Jan 2013, 23:08

Tem certeza que não é +9 ? Se for +9, há uma fatoração notável:

x³ - 3x² - 3x + 9 = 0

x²(x - 3) - 3 (x - 3) = 0

(x - 3)(x² - 3) = 0

por **raimundo pereira** Qua 30 Jan 2013, 23:11

Não copiei de um livro , copiei de um caderno, e está -9.

por Rafael113 Qui 31 Jan 2013, 00:12

Apesar de já ter dito que não copiou errado, acho melhor conferir novamente, ou em outra fonte...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%C2%B3+-+3x%C2%B2+-+3x+-+9+%3D+0

Sendo -9, as raízes são bastante complicadas para se descobrir "na mão"...

por **Robson Jr.** Qui 31 Jan 2013, 00:40

x³ - 3x² lembra muito (x - 1)³ expandido. Vejamos se conseguimos algo legal:

$\small x^3-3x^2-3x-9=0 \\ \Leftrightarrow (x^3-3x^2+3x-1)-6x-8=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)^3-6x+6-14=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)^3-6(x-1)-14=0 \text{ (1)}$

Façamos x - 1 = a + b:

$\small (x-1)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \\ \Leftrightarrow \ (x-1)^3=a^3+b^3+3ab(x-1) \\ \Leftrightarrow \ (x-1)^3-3ab(x-1)-(a^3+b^3)=0 \text{ (2)}$

Comparando os coeficientes de (1) e (2), temos:

$\small \left\{\begin{matrix} ab=2\\ a^3+b^3=14 \end{matrix}\right.$

Substituindo b = 2/a:

$a^3+\frac{8}{a^3}=14 \Rightarrow a^6-14a^3+8=0 \Rightarrow a^3=7 \pm \sqrt{41} \Rightarrow a=\sqrt[3]{7 \pm \sqrt{41}}$

Pela simetria do sistema, se usarmos a com sinal de +, b será idêntico mas com sinal de menos. A recíproca também vale.
De todo modo, a + b sempre valerá:

$\small a+b=\sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}+\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}}$

Logo:

$\small x-1=\sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}+\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \Rightarrow \boxed{x=1+\sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}+\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}}}$

Que respostinha horrível, né?