Posição em ordem crescente

Escreve-se em ordem crescente cada múltiplo de 2 cuja soma com o número 1 é um quadrado perfeito: 3; 15; 24; 48;.....
Qual o múltiplo na posição 2006º??

Robalo escreveu:Escreve-se em ordem crescente cada múltiplo de 2 cuja soma com o número 1 é um quadrado perfeito: 3; 15; 24; 48;.....
Qual o múltiplo na posição 2006º??

Boa tarde!

Você quis dizer... cada múltiplo de 3, não é?

3 ..... 15 ..... 24 ..... 48 ..... 63 ..... 99 ...... 120

2²-1...4²-1....5²-1... 7²-1 ... 8²-1 .. 10²-1 .. 11²-1

2 ..... 4 ........5 ...... 7 ........ 8 ...... 10 ...... 11

.....2........1...|.....2........1...|......2........1...|......

|........3.........|.........3........|.........3..........|......

Observando o diagrama acima, notamos que 2, 5, 8, 11, ... formam uma P.A. crescente e de razão 3:

múlt. 3: 1º .. 8º ..21º....40º
x²-1... : 3 .. 24 .. 63 .. 120 ..
x. ......: 2 .... 5 .... 8 ....11 ...
ordem : 1º ... 3º .. 5º .. 7º ... .... .... 2005º 2006º
n........: 1 .... 2 .... 3 .... 4 .... .... .... 1003

Cálculo de "n":

a1 = 0
r = 2
an = a1 + (n-1)*r
2004 = 0 + (n-1)*2
n-1 = 2004/2 = 1002
n = 1002 + 1 = 1003

Observe agora, no demonstrativo acima, que:

x = ordem + n

Logo, podemos calcular:

X = 2005 + 1003 = 3008

Contudo, estamos desejando saber qual o múltiplo da 2006ª posição, o qual se encontra x+2 além da posição 2005, ou seja:

x + 2 = 3008 + 2 = 3010

E assim como 11²-1=120, também:

3010² - 1 = 9.060.100 - 1 = 9.060.099

9.060.099/3 = 3.020.033º múltiplo de 3

Podemos, portanto, completar nosso quadro:

múlt. 3: 1º .. 8º ..21º....40º ...... ........... .. 3.020.033º
x²-1... : 3 .. 24 .. 63 .. 120 .. ..... .............. 9.060.099
x. ......: 2 .... 5 .... 8 ....11 ... .... .... 3008 ........ 3010
ordem : 1º ... 3º .. 5º .. 7º ... .... .... 2005º .......2006º
n........: 1 .... 2 .... 3 .... 4 .... .... .... 1003

Será que acertei?
Aguardo confirmação dos amigos leitores do site.



Um abençoado final de semana para todos!

Olá Ivo,

Exato a questão deve ser múltiplo de 3. Acho que já foi uma questão de olimpíada.
Uma forma de fazer seria assim:

1) 3x1+1=4.........√4=2
.....4-2=2
2) 3x5+1=16.....√16=4
.....5-4=1
3) 3x8+1=25.....√25=5
.....7-5=2
4) 3x16+1=49...√49=7

Identifica-se um padrão que é a diferença entre as raízes quadradas perfeitas (r) que pode ser 2 ou 1. Logo, a soma das diferenças a cada 2 raízes será múltiplo de 3. Relacionando-se esta soma ao número de ordem k da operação, temos:

3xn+1=[int(3.k/2)+1]²=r²

r=int(3.k/2)+1

Logo, o número procurado é

3xn=[int(3.k/2)+1]²-1

onde int(x) é o valor inteiro de x

Ex: k=3:

r=int(3.3/2)+1=int(4,5)=1=5

O 3o termo, portanto, será:

5²-1=24=3x8

Para k=2006, que é o que se deseja, temos:

3x2006/2=3009

int(3009)+1=3010

(3010)²-1=9060099=

=3x3020033

Resposta:.....9060099

Agora achei esse site que possa ajudar na resolução, ele apresentam como resposta 9060099.

http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/02/02/multiplos-e-quadrados-perfeitos/

Resolução mais elegante:

Robalo escreveu:Hola Ivomilton.

Vamos tentar encontrar uma função geradora:

Note que o 1.º número que satisfaz essa condição é o:
0, pois 0 + 1 = 1 e a raiz quadrada de 1 é 1. Como podemos escrever o 1?
1 = (2*0 + 1) = 1

Note que o 2.º número que que satisfaz essa condição é o :
8 , pois 8 + 1 = 9 e a raiz quadrada de 9 é 3. Como podemos escrever o 3?
1 + 1 + 1 = (2*1 + 1) = 3

Note que o 3.º número que satisfaz essa condição é o :
24 , pois 24 + 1 = 25 e a raiz quadrada de 25 é 5. Como podemos escrever o 5?
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = (2*2 + 1) = 5

Note que o 4.º número que satisfaz essa condição é o :
48 , pois 48 + 1 = 49 e a raiz quadrada de 49 é 7. Como podemos escrever o 7?
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = (2*3 + 1) = 7, observando essas sequências deduzimos que a função será:

f(n) = (2*n + 1)² - 1, para todo n, mas como o primeiro número é zero, devemos procurar uma posição antes da desejada, nesse caso a 2005º, logo o número que ocupa 2006º é:
F(20006) = (2*2005 + 1)² - 1
F(2006) = (4010 + 1)² – 1
F(2006) = 4011² – 1
F(2006) = 16.088.121 – 1
F(2006) = 16.088.120

Boa noite...

Só tem um porém...

No final do texto de sua questão está escrito: 3, 15, 24, 48, ..., ao passo que em sua presente resolução o amigo apresenta: 1, 8, 24, 48.

Favor rever o texto porque, pela sequência fornecida (3, 15, 24, 48,...), tudo leva a crer que esses números se originaram de 4-1, 16-1, 25-1, 49-1, ... e todas essas diferenças são divisíveis por 3, mas nem todas o são por 2.



Um abraço,
Ivo

Hola Ivomilton.

Vc tem razão, excluí a solução.

luiseduardo escreveu:Olá Ivo,

Exato a questão deve ser múltiplo de 3. Acho que já foi uma questão de olimpíada.
Uma forma de fazer seria assim:

1) 3x1+1=4.........√4=2
.....4-2=2
2) 3x5+1=16.....√16=4
.....5-4=1
3) 3x8+1=25.....√25=5
.....7-5=2
4) 3x16+1=49...√49=7

Identifica-se um padrão que é a diferença entre as raízes quadradas perfeitas (r) que pode ser 2 ou 1. Logo, a soma das diferenças a cada 2 raízes será múltiplo de 3. Relacionando-se esta soma ao número de ordem k da operação, temos:

3xn+1=[int(3.k/2)+1]²=r²

r=int(3.k/2)+1

Logo, o número procurado é

3xn=[int(3.k/2)+1]²-1

onde int(x) é o valor inteiro de x

Ex: k=3:

r=int(3.3/2)+1=int(4,5)=1=5

O 3o termo, portanto, será:

5²-1=24=3x8

Para k=2006, que é o que se deseja, temos:

3x2006/2=3009

int(3009)+1=3010

(3010)²-1=9060099=

=3x3020033

Resposta:.....9060099

Agora achei esse site que possa ajudar na resolução, ele apresentam como resposta 9060099.

http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/02/02/multiplos-e-quadrados-perfeitos/

Resolução mais elegante:

Boa noite, Luís Eduardo!

Muito obrigado por sua colaboração e informações.
Li todas elas: algumas mais difíceis de se compreender bem, pois há que se pensar bastante.
Gostei muito da 2ª solução elegante, em que o autor considera que em cada grupo de três inteiros consecutivos, dois não são múltiplos de 3, e daí logo chega à solução do problema.
Valeu!!!



Um explêndido final de semana para você, com as bênçãos do Senhor Jesus!