Números Complexos

por diolinho Sáb 26 Jan 2013, 12:03

Olá, gostaria de deixar este exercício, para que se alguém conseguir resolver, por gentileza, poste a resolução.

Se x é um número complexo tal que x + 1/x = 2.cos(teta), para algum número real (teta), com 0 < (teta) < (pi), calcule x^n + 1/x^n em função de (teta) e n, onde n representa um número inteiro.

Gab.: 2cos[(teta)n]
Obrigado!

por **aryleudo** Sáb 26 Jan 2013, 14:28

Se x é um número complexo tal que x + 1/x = 2.cos(teta), para algum número real (teta), com 0 < (teta) < (pi), calcule x^n + 1/x^n em função de (teta) e n, onde n representa um número inteiro.

Gab.: 2cos[(teta)n]
Obrigado!

Essa questão foi trabalhada na Lista de Exercício do Prof. Luciano do PAPMEM de 2013.1.

SOLUÇÃO
x + 1/x = 2.cos(teta) -------------------------- {Multiplicando tudo por x}
x² + 1 = 2xcos(θ)
x² - 2xcos(θ) +1 = 0 ---------------------------{Resolvendo a Equação do 2° Grau}

∆ = [- 2cos(θ)]² - 4.1.1 = 4cos²(θ) - 4 = -4[1 - cos²(θ)] = -4sen²(θ)

$Números Complexos %5CLARGE%5C%21x%20%3D%20%5Cfrac%7B2cos%28%5Ctheta%29%5Cpm%20%5Csqrt%7B-4sen%5E2%28%5Ctheta%29%7D%7D%7B2%5Ctimes%201%7D%20%3D%20%20cos%28%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28%5Ctheta%29%20%20$

Substituindo o valor de x encontrado acima na expressão da e utilizando a 1ª Fórmula de De Moivre:
$Números Complexos %5CLARGE%5C%21x%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D%20%3D%20%5Bcos%28%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28%5Ctheta%29%5D%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Bcos%28%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28%5Ctheta%29%5D%5En%7D%20%5C%5Cx%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D%20%3D%20%20cos%28n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28n%5Ctheta%29%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Bcos%28n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28n%5Ctheta%29%5D%7D%20%5C%5Cx%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D%20%3D%20cos%28n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28n%5Ctheta%29%20%2B%20%5Bcos%28n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28n%5Ctheta%29%5D%5E%7B-1%7D%5C%5Cx%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D%20%3D%20cos%28n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28n%5Ctheta%29%20%2B%20cos%28-n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28-n%5Ctheta%29$

Lembrando que:
cos(-nθ) = cos(nθ)
sen(-nθ) = - sen(nθ)

Continuando...
$Números Complexos %5CLARGE%5C%21x%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D%20%3D%20cos%28n%5Ctheta%29%5Cpm%20isen%28n%5Ctheta%29%20%2B%20cos%28n%5Ctheta%29%5Cmp%20isen%28n%5Ctheta%29%5C%5Cx%5En%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D%20%3D%202cos%28n%5Ctheta%29$

por diolinho Sáb 26 Jan 2013, 19:22

Olá Ary, muito obrigado!
Excelente a sua resolução... Muito fácil de entender, usou ferramentas que já estamos acostumados a mexer, enfim, ficou muito bem explicada.
Mais uma vez obrigado!
Um abraço!