Binômio de Newton

por diolinho Qua 09 Jan 2013, 19:06

Olá!

Estou resolvendo uma lista de Binômio de Newton, e estou com dúvida em dois exercícios, um deles é o que estou postando. Caso alguém tenha alguma idéia para resolvê-lo, por gentileza, poste aqui.

Qual o coeficiente de x³ na expansão multinomial de (1 + 1/x³+ x²)^10?

a) 1.380 b) 1.480 c) 1.580 d) 1.680 e) 1.780

Gabarito: D

por **ramonss** Qua 09 Jan 2013, 19:55

$\\\left%20[%201+\left%20(\frac{1}{x^3}+x^2%20\right%20)%20\right%20]^{10}=\binom{10}{k}\left%20(%20\frac{1}{x^3}+x^2%20\right%20)^k(1)^{10-k}\\\\\\=\binom{10}{k}\binom{k}{r}\left%20(%20\frac{1}{x^3}%20\right%20)^r\left%20(%20x^2%20\right%20)^{k-r}(1)^{10-k}$
Queremos o coeficiente de x³, portanto:

$\\2(k-r)=3r+3\Leftrightarrow 2k-5=5r\\\\k>r,\;então\;as\;soluções\;são:\\\\(r,k)\rightarrow (1,4)\;e\;(3,5)$

$Binômio de Newton Gif$

por theblackmamba Qua 09 Jan 2013, 22:01

Polinômio de Leibniz:

$(x_1+x_2+...+x_p)^n)=\sum \frac{n!}{a_1!\cdot a_2!\cdots a_p!}\cdot (x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2}\cdots x_p^{a_p})$

Onde $a_1+a_2+...+a_p=n$

$\left(1+\frac{1}{x^3}+x^2 \right )^{10}=\sum \frac{10!}{a!\cdot b! \cdot c!}\cdot 1^a\cdot x^{-3b}\cdot x^{2c}=\sum \frac{10!}{a!\cdot b!\cdot c!}\cdot x^{2c-3b}$

Devemos ter:
$\begin{cases}2c-3b=3\\a+b+c=10 \end{cases}$

As soluções possíveis são (no campo dos naturais):
$(a,b,c)=(6,1,3) \,\,e\,\,(a,b,c)=(1,3,6)$

Logo o coeficiente de x³ vale:

$\frac{10!}{6!\cdot 1!\cdot 3!}+ \frac{10!}{1!\cdot 3!\cdot 6!}=2\cdot \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{6}=\boxed{1680}$

por diolinho Qui 10 Jan 2013, 11:38

Amigos "ramonss" e "theblackmamba"... Resoluções impecáveis, muito obrigado!

Tinha me esquecido do polinômio de Leibniz, que é muito útil na resolução destes problemas envolvendo trinômios.

Como eu disse são dois exercícios que eu tive dúvida. O outro postarei como "novo post" e se vcs puderem ajudar, ficarei agradecido!

Abraços!

por Ádamo Duarte de Oliveira Sáb 15 Jun 2013, 13:19

Há um problema com a solução 1 apresentada. Primeiro se queremos que 2(k-r) = 3r + 3, temos que, 2k -2r = 3r + 3 o que resulta em 2k = 5r + 3 (I) e não em 2k - 5 = 5r (II). Logo as soluções apresentadas não satisfazem a equação (II). Note que a equação correta é a (I).

por Conteúdo patrocinado

Binômio de Newton

Binômio de Newton

Re: Binômio de Newton

Re: Binômio de Newton

Re: Binômio de Newton

Re: Binômio de Newton

Re: Binômio de Newton

Um fórum livre e democrático.